Theorem mhpsclcl 22138

Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 26099. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 22127 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 22137) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsclcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mhpsclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl

Dummy variables 𝑑 𝑦 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsclcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		mhpsclcl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mhpsclcl.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		mhpsclcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpsclcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpsclcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	mplascl 22043	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴‘𝐶) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅))))
13		eqeq1 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
14	13	ifbid 4480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
15	14	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
16		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17		fvexd 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
18	10, 17	ifexd 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
19	18	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
20	12, 15, 16, 19	fvmptd 6946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴‘𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
21	20	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅)))
22		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
23	22	necon1ai 2963	. . . . 5 ⊢ (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24		fconstmpt 5682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)
25	24	oveq2i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0))
26		nn0subm 21400	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18776	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30		cnfld0 21374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
31	27, 30	subm0 18778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
32	26, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
33	32	gsumz 18799	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
34	29, 7, 33	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
35	25, 34	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36		oveq2 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})))
37	36	eqeq1d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
38	35, 37	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
39	23, 38	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
40	21, 39	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
41	40	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
42		mhpsclcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44		0nn0 12447	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
46	1, 43, 4, 5, 6, 8	mplasclf 22044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
47	46, 10	ffvelcdmd 7029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
48	42, 1, 43, 3, 2, 45, 47	ismhp3 22133	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0)))
49	41, 48	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  {crab 3393  Vcvv 3433  ifcif 4456  {csn 4557   ↦ cmpt 5155   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  0cc0 11034  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18745  Ringcrg 20208  ℂ_fldccnfld 21350  algSccascl 21830   mPoly cmpl 21884   mHomP cmhp 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-cnfld 21351  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mpl 21889  df-mhp 22127

This theorem is referenced by:  mhppwdeg  22141