MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpsclcl 21537
Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 25478. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 21523 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 21536) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsclcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpsclcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
mhpsclcl (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsclcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2736 . . . . . . 7 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 mhpsclcl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mhpsclcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6 mhpsclcl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼𝑉)
8 mhpsclcl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpsclcl.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐾)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11mplascl 21472 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴𝐶) = (𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅))))
13 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
1413ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
1514adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
16 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
17 fvexd 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
1810, 17ifexd 4534 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
2012, 15, 16, 19fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
2120neeq1d 3003 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅)))
22 iffalse 4495 . . . . . 6 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2322necon1ai 2971 . . . . 5 (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24 fconstmpt 5694 . . . . . . . 8 (𝐼 × {0}) = (𝑘𝐼 ↦ 0)
2524oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0))
26 nn0subm 20852 . . . . . . . . 9 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (ℂflds0) = (ℂflds0)
2827submmnd 18624 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂflds0) ∈ Mnd
30 cnfld0 20821 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
3127, 30subm0 18626 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
3226, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘(ℂflds0))
3332gsumz 18646 . . . . . . . 8 (((ℂflds0) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3429, 7, 33sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3525, 34eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})))
3736eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
3835, 37syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
3923, 38syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4021, 39sylbid 239 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4140ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
42 mhpsclcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44 0nn0 12428 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
461, 43, 4, 5, 6, 8mplasclf 21473 . . . 4 (𝜑𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
4746, 10ffvelcdmd 7036 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
4842, 1, 43, 3, 2, 6, 8, 45, 47ismhp3 21533 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0)))
4941, 48mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796  algSccascl 21258   mPoly cmpl 21308   mHomP cmhp 21519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mhp 21523
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  21540
  Copyright terms: Public domain W3C validator