MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpsclcl 22169
Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 26167. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 22158 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 22168) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsclcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpsclcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
mhpsclcl (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsclcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2735 . . . . . . 7 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 mhpsclcl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mhpsclcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6 mhpsclcl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼𝑉)
8 mhpsclcl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpsclcl.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐾)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11mplascl 22106 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴𝐶) = (𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅))))
13 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
1413ifbid 4554 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
1514adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
17 fvexd 6922 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
1810, 17ifexd 4579 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
2012, 15, 16, 19fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
2120neeq1d 2998 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅)))
22 iffalse 4540 . . . . . 6 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2322necon1ai 2966 . . . . 5 (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24 fconstmpt 5751 . . . . . . . 8 (𝐼 × {0}) = (𝑘𝐼 ↦ 0)
2524oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0))
26 nn0subm 21458 . . . . . . . . 9 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (ℂflds0) = (ℂflds0)
2827submmnd 18839 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂflds0) ∈ Mnd
30 cnfld0 21423 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
3127, 30subm0 18841 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
3226, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘(ℂflds0))
3332gsumz 18862 . . . . . . . 8 (((ℂflds0) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3429, 7, 33sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3525, 34eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})))
3736eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
3835, 37syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
3923, 38syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4021, 39sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4140ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
42 mhpsclcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
461, 43, 4, 5, 6, 8mplasclf 22107 . . . 4 (𝜑𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
4746, 10ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
4842, 1, 43, 3, 2, 45, 47ismhp3 22164 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0)))
4941, 48mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382  algSccascl 21890   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-mhp 22158
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  22172
  Copyright terms: Public domain W3C validator