MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsclcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhpsclcl 21682
Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 25623. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 21668 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 21681) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsclcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
mhpsclcl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mhpsclcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsclcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mhpsclcl (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0))
Proof of Theorem mhpsclcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsclcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4 mhpsclcl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 mhpsclcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
6 mhpsclcl.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 mhpsclcl.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpsclcl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11mplascl 21617 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜πΆ) = (𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…))))
13 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0})))
1413ifbid 4551 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 β†’ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
1514adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
16 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
17 fvexd 6904 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
1810, 17ifexd 4576 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) ∈ V)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) ∈ V)
2012, 15, 16, 19fvmptd 7003 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
2120neeq1d 3001 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
22 iffalse 4537 . . . . . 6 (Β¬ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2322necon1ai 2969 . . . . 5 (if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0}))
24 fconstmpt 5737 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)
2524oveq2i 7417 . . . . . . 7 ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0))
26 nn0subm 20993 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld β†Ύs β„•0) = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
2827submmnd 18691 . . . . . . . . 9 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd
30 cnfld0 20962 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3127, 30subm0 18693 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
3226, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
3332gsumz 18714 . . . . . . . 8 (((β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
3429, 7, 33sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
3525, 34eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
36 oveq2 7414 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
3736eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0 ↔ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0))
3835, 37syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
3923, 38syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
4021, 39sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
4140ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
42 mhpsclcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
44 0nn0 12484 . . . 4 0 ∈ β„•0
4544a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
461, 43, 4, 5, 6, 8mplasclf 21618 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
4746, 10ffvelcdmd 7085 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4842, 1, 43, 3, 2, 6, 8, 45, 47ismhp3 21678 . 2 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0)))
4941, 48mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622  SubMndcsubmnd 18667  Ringcrg 20050  β„‚fldccnfld 20937  algSccascl 21399   mPoly cmpl 21451   mHomP cmhp 21664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-cnfld 20938  df-ascl 21402  df-psr 21454  df-mpl 21456  df-mhp 21668
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  21685
  Copyright terms: Public domain W3C validator