MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsclcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhpsclcl 21989
Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 25959. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 21980 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 21988) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsclcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
mhpsclcl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mhpsclcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsclcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
mhpsclcl (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0))
Proof of Theorem mhpsclcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsclcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2724 . . . . . . 7 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
3 eqid 2724 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4 mhpsclcl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 mhpsclcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
6 mhpsclcl.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 mhpsclcl.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpsclcl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11mplascl 21926 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜πΆ) = (𝑦 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…))))
13 eqeq1 2728 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0})))
1413ifbid 4543 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 β†’ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
1514adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
16 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
17 fvexd 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
1810, 17ifexd 4568 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) ∈ V)
2012, 15, 16, 19fvmptd 6995 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) = if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)))
2120neeq1d 2992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
22 iffalse 4529 . . . . . 6 (Β¬ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2322necon1ai 2960 . . . . 5 (if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑑 = (𝐼 Γ— {0}))
24 fconstmpt 5728 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)
2524oveq2i 7412 . . . . . . 7 ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0))
26 nn0subm 21279 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
27 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld β†Ύs β„•0) = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
2827submmnd 18725 . . . . . . . . 9 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd
30 cnfld0 21248 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3127, 30subm0 18727 . . . . . . . . . 10 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0)))
3226, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs β„•0))
3332gsumz 18748 . . . . . . . 8 (((β„‚fld β†Ύs β„•0) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
3429, 7, 33sylancr 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
3525, 34eqtrid 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
36 oveq2 7409 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
3736eqeq1d 2726 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0 ↔ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0))
3835, 37syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑑 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
3923, 38syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (if(𝑑 = (𝐼 Γ— {0}), 𝐢, (0gβ€˜π‘…)) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
4021, 39sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
4140ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0))
42 mhpsclcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
44 0nn0 12483 . . . 4 0 ∈ β„•0
4544a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
461, 43, 4, 5, 6, 8mplasclf 21927 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
4746, 10ffvelcdmd 7077 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4842, 1, 43, 3, 2, 6, 8, 45, 47ismhp3 21985 . 2 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} (((π΄β€˜πΆ)β€˜π‘‘) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑑) = 0)))
4941, 48mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΆ) ∈ (π»β€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  ifcif 4520  {csn 4620   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8815  Fincfn 8934  0cc0 11105  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18654  SubMndcsubmnd 18699  Ringcrg 20123  β„‚fldccnfld 21223  algSccascl 21707   mPoly cmpl 21759   mHomP cmhp 21973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-cnfld 21224  df-ascl 21710  df-psr 21762  df-mpl 21764  df-mhp 21980
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  21992
  Copyright terms: Public domain W3C validator