MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpsclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpsclcl 22151
Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 26152. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 22140 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 22150) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpsclcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpsclcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
mhpsclcl (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl
Dummy variables 𝑑 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpsclcl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . . 7 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 mhpsclcl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mhpsclcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6 mhpsclcl.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼𝑉)
8 mhpsclcl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mhpsclcl.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐾)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11mplascl 22088 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴𝐶) = (𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅))))
13 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
1413ifbid 4549 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
1514adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
17 fvexd 6921 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
1810, 17ifexd 4574 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ∈ V)
2012, 15, 16, 19fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)))
2120neeq1d 3000 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅)))
22 iffalse 4534 . . . . . 6 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2322necon1ai 2968 . . . . 5 (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24 fconstmpt 5747 . . . . . . . 8 (𝐼 × {0}) = (𝑘𝐼 ↦ 0)
2524oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0))
26 nn0subm 21440 . . . . . . . . 9 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℂflds0) = (ℂflds0)
2827submmnd 18826 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂflds0) ∈ Mnd
30 cnfld0 21405 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
3127, 30subm0 18828 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds0)))
3226, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘(ℂflds0))
3332gsumz 18849 . . . . . . . 8 (((ℂflds0) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3429, 7, 33sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝑘𝐼 ↦ 0)) = 0)
3525, 34eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})))
3736eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂflds0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
3835, 37syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
3923, 38syl5 34 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g𝑅)) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4021, 39sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
4140ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0))
42 mhpsclcl.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
4544a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
461, 43, 4, 5, 6, 8mplasclf 22089 . . . 4 (𝜑𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
4746, 10ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
4842, 1, 43, 3, 2, 45, 47ismhp3 22146 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴𝐶)‘𝑑) ≠ (0g𝑅) → ((ℂflds0) Σg 𝑑) = 0)))
4941, 48mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ (𝐻‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364  algSccascl 21872   mPoly cmpl 21926   mHomP cmhp 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mhp 22140
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  22154
  Copyright terms: Public domain W3C validator