Theorem mhpsclcl 22362

Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 26323. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 22351 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 22361) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsclcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mhpsclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl

Dummy variables 𝑑 𝑦 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsclcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		mhpsclcl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mhpsclcl.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		mhpsclcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpsclcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpsclcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	mplascl 22267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴‘𝐶) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅))))
13		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
14	13	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17		fvexd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
18	10, 17	ifexd 4538	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
20	12, 15, 16, 19	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴‘𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
21	20	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅)))
22		iffalse 4498	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
23	22	necon1ai 2987	. . . . 5 ⊢ (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24		fconstmpt 5725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)
25	24	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0))
26		nn0subm 21624	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 18911	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30		cnfld0 21598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
31	27, 30	subm0 18913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
32	26, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
33	32	gsumz 18934	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
34	29, 7, 33	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
35	25, 34	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})))
37	36	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
38	35, 37	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
39	23, 38	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
40	21, 39	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
41	40	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
42		mhpsclcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44		0nn0 12536	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
46	1, 43, 4, 5, 6, 8	mplasclf 22268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
47	46, 10	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
48	42, 1, 43, 3, 2, 45, 47	ismhp3 22357	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0)))
49	41, 48	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  0cc0 11117  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826  SubMndcsubmnd 18879  Ringcrg 20361  ℂ_fldccnfld 21574  algSccascl 22054   mPoly cmpl 22108   mHomP cmhp 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-cnfld 21575  df-ascl 22057  df-psr 22111  df-mpl 22113  df-mhp 22351

This theorem is used by:  mhppwdeg  22365