Theorem mhpsclcl 22468

Description: A scalar (or constant) polynomial has degree 0. Compare deg1scl 26431. In other contexts, there may be an exception for the zero polynomial, but under df-mhp 22457 the zero polynomial can be any degree (see mhp0cl 22467) so there is no exception. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpsclcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpsclcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpsclcl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mhpsclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpsclcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpsclcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpsclcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mhpsclcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

Proof of Theorem mhpsclcl

Dummy variables 𝑑 𝑦 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpsclcl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		mhpsclcl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		mhpsclcl.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		mhpsclcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpsclcl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mhpsclcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐶 ∈ 𝐾)
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11	mplascl 22373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐴‘𝐶) = (𝑦 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅))))
13		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑑 = (𝐼 × {0})))
14	13	ifbid 4506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑦 = 𝑑) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
17		fvexd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
18	10, 17	ifexd 4531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ∈ V)
20	12, 15, 16, 19	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐴‘𝐶)‘𝑑) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)))
21	20	neeq1d 3015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) ↔ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅)))
22		iffalse 4491	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑑 = (𝐼 × {0}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
23	22	necon1ai 2983	. . . . 5 ⊢ (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → 𝑑 = (𝐼 × {0}))
24		fconstmpt 5713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)
25	24	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0))
26		nn0subm 21728	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
27		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
28	27	submmnd 19009	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
30		cnfld0 21702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
31	27, 30	subm0 19011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0)))
32	26, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s ℕ0))
33	32	gsumz 19032	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
34	29, 7, 33	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
35	25, 34	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0)
36		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})))
37	36	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐼 × {0}) → (((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0 ↔ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg (𝐼 × {0})) = 0))
38	35, 37	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 = (𝐼 × {0}) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
39	23, 38	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (if(𝑑 = (𝐼 × {0}), 𝐶, (0g‘𝑅)) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
40	21, 39	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
41	40	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0))
42		mhpsclcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
43		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
44		0nn0 12621	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
46	1, 43, 4, 5, 6, 8	mplasclf 22374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑃))
47	46, 10	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑃))
48	42, 1, 43, 3, 2, 45, 47	ismhp3 22463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0) ↔ ∀𝑑 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (((𝐴‘𝐶)‘𝑑) ≠ (0g‘𝑅) → ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑑) = 0)))
49	41, 48	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (𝐻‘0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  SubMndcsubmnd 18977  Ringcrg 20459  ℂ_fldccnfld 21678  algSccascl 22160   mPoly cmpl 22214   mHomP cmhp 22454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-cnfld 21679  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-mhp 22457

This theorem is used by:  mhppwdeg  22471