Theorem gzilaz 49729

Description: The Gaussian integers are the adjunction of i to the ring of integers. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
gzilaz	⊢ ℤ[i] = (Z[]l‘i)

Proof of Theorem gzilaz

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)))
2		oveq1 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑠) → (𝑎 + (𝑏 · i)) = ((ℜ‘𝑠) + (𝑏 · i)))
3	2	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑠) → (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) ↔ 𝑠 = ((ℜ‘𝑠) + (𝑏 · i))))
4		oveq1 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑠) → (𝑏 · i) = ((ℑ‘𝑠) · i))
5	4	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑠) → ((ℜ‘𝑠) + (𝑏 · i)) = ((ℜ‘𝑠) + ((ℑ‘𝑠) · i)))
6	5	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑠) → (𝑠 = ((ℜ‘𝑠) + (𝑏 · i)) ↔ 𝑠 = ((ℜ‘𝑠) + ((ℑ‘𝑠) · i))))
7		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → (ℜ‘𝑠) ∈ ℤ)
8		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)
9		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ)
10	9	replimd 15405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → 𝑠 = ((ℜ‘𝑠) + (i · (ℑ‘𝑠))))
11		ax-icn 11296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → i ∈ ℂ)
13		zcn 12736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℑ‘𝑠) ∈ ℤ → (ℑ‘𝑠) ∈ ℂ)
14	13	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → (ℑ‘𝑠) ∈ ℂ)
15	12, 14	mulcomd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → (i · (ℑ‘𝑠)) = ((ℑ‘𝑠) · i))
16	15	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → ((ℜ‘𝑠) + (i · (ℑ‘𝑠))) = ((ℜ‘𝑠) + ((ℑ‘𝑠) · i)))
17	10, 16	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → 𝑠 = ((ℜ‘𝑠) + ((ℑ‘𝑠) · i)))
18	3, 6, 7, 8, 17	2rspcedvdw 3593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)))
19	18	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i))))
20		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
21	20	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
22	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → i ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcomd 11367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · i) = (i · 𝑏))
24	23	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑏 · i)) = (𝑎 + (i · 𝑏)))
25	24	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) = (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
26		zre 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
28		zre 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
29	28	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
30	27, 29	crred 15439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
31	25, 30	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) = 𝑎)
32		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
33	31, 32	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ)
34	24	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) = (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
35	27, 29	crimd 15440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
36	34, 35	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) = 𝑏)
37		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
38	36, 37	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ)
39	33, 38	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ))
40		fveq2 6914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → (ℜ‘𝑠) = (ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))))
41	40	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ↔ (ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ))
42		fveq2 6914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → (ℑ‘𝑠) = (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))))
43	42	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → ((ℑ‘𝑠) ∈ ℤ ↔ (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ))
44	41, 43	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → (((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ) ↔ ((ℜ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘(𝑎 + (𝑏 · i))) ∈ ℤ)))
45	39, 44	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)))
46	45	rexlimdvva 3223	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)) → ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)))
47	19, 46	impbid 215	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i))))
48	47	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ)) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i))))
49	1, 48	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i))))
50		elgz 17150	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑠) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑠) ∈ ℤ))
51		ellaz 49720	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (Z[]l‘i) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i)))))
52	11, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (Z[]l‘i) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑠 = (𝑎 + (𝑏 · i))))
53	49, 50, 52	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑠 ∈ ℤ[i] ↔ 𝑠 ∈ (Z[]l‘i))
54	53	eqriv 2760	1 ⊢ ℤ[i] = (Z[]l‘i)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  ici 11239   + caddc 11240   · cmul 11242  ℤcz 12731  ℜcre 15305  ℑcim 15306  ℤ[i]cgz 17148  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-z 12732  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-gz 17149  df-laz 49718

This theorem is used by:  gzmulclALT  49736