Theorem hashsslei 13788

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashsslei.b	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
hashsslei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
hashsslei.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
hashsslei	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashsslei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashsslei.a	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
2	1	simpli 486	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
3		hashsslei.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
4		ssfi 8738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		ssdomg 8555	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	2, 3, 6	mp2 9	. . . 4 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐴
8		hashdom 13741	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	5, 2, 8	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴)
10	7, 9	mpbir 233	. . 3 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)
11	1	simpri 488	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁
12		hashcl 13718	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 11909	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
15		hashcl 13718	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 11909	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashsslei.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 11909	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
20	14, 17, 19	letri 10769	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
21	10, 11, 20	mp2an 690	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁
22	5, 21	pm3.2i 473	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355   ≼ cdom 8507  Fincfn 8509   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ♯chash 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692

This theorem is referenced by:  kur14lem9  32461