Theorem hashsslei 14459

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashsslei.b	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
hashsslei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
hashsslei.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
hashsslei	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashsslei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashsslei.a	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
2	1	simpli 488	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
3		hashsslei.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
4		ssfi 9153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		ssdomg 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	2, 3, 6	mp2 9	. . . 4 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐴
8		hashdom 14411	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	5, 2, 8	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴)
10	7, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)
11	1	simpri 490	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁
12		hashcl 14388	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12510	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
15		hashcl 14388	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12510	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashsslei.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12510	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
20	14, 17, 19	letri 11334	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
21	10, 11, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁
22	5, 21	pm3.2i 475	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≼ cdom 8937  Fincfn 8939   ≤ cle 11239  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  kur14lem9  35706