Theorem hashsslei 14352

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashsslei.b	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
hashsslei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
hashsslei.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
hashsslei	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashsslei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashsslei.a	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
2	1	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
3		hashsslei.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
4		ssfi 9097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		ssdomg 8932	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	2, 3, 6	mp2 9	. . . 4 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐴
8		hashdom 14305	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	5, 2, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴)
10	7, 9	mpbir 231	. . 3 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)
11	1	simpri 485	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁
12		hashcl 14282	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12414	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
15		hashcl 14282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12414	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashsslei.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12414	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
20	14, 17, 19	letri 11264	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
21	10, 11, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁
22	5, 21	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486   ≼ cdom 8877  Fincfn 8879   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12403  ♯chash 14256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-hash 14257

This theorem is referenced by:  kur14lem9  35206