MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsslei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashsslei 14382
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashsslei.b 𝐵𝐴
hashsslei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
hashsslei.n 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
hashsslei (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashsslei
StepHypRef Expression
1 hashsslei.a . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
21simpli 485 . . 3 𝐴 ∈ Fin
3 hashsslei.b . . 3 𝐵𝐴
4 ssfi 9169 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 691 . 2 𝐵 ∈ Fin
6 ssdomg 8992 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
72, 3, 6mp2 9 . . . 4 𝐵𝐴
8 hashdom 14335 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
95, 2, 8mp2an 691 . . . 4 ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴)
107, 9mpbir 230 . . 3 (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)
111simpri 487 . . 3 (♯‘𝐴) ≤ 𝑁
12 hashcl 14312 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
135, 12ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
1413nn0rei 12479 . . . 4 (♯‘𝐵) ∈ ℝ
15 hashcl 14312 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
162, 15ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 12479 . . . 4 (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashsslei.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
1918nn0rei 12479 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
2014, 17, 19letri 11339 . . 3 (((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
2110, 11, 20mp2an 691 . 2 (♯‘𝐵) ≤ 𝑁
225, 21pm3.2i 472 1 (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wcel 2107  wss 3947   class class class wbr 5147  cfv 6540  cdom 8933  Fincfn 8935  cle 11245  0cn0 12468  chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  kur14lem9  34143
  Copyright terms: Public domain W3C validator