Theorem hashsslei 14361

Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashsslei.b	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
hashsslei.a	⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
hashsslei.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
hashsslei	⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashsslei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashsslei.a	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁)
2	1	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
3		hashsslei.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐴
4		ssfi 9109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ Fin
6		ssdomg 8949	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7	2, 3, 6	mp2 9	. . . 4 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐴
8		hashdom 14314	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
9	5, 2, 8	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴)
10	7, 9	mpbir 231	. . 3 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴)
11	1	simpri 485	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁
12		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 12424	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐵) ∈ ℝ
15		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	2, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 12424	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) ∈ ℝ
18		hashsslei.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12424	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
20	14, 17, 19	letri 11274	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴) ∧ (♯‘𝐴) ≤ 𝑁) → (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)
21	10, 11, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁
22	5, 21	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐵) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  kur14lem9  35430