Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophm 29809
 Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2877 . 2 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp))
2 eleq1 2877 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
4 fveq2 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦))
53, 4oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)))
65eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ))
76cbvralvw 3396 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
8 fveq1 6644 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
98oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
109eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1110ralbidv 3162 . . . . . . 7 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
127, 11syl5bb 286 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
132, 12anbi12d 633 . . . . 5 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
14 eleq1 2877 . . . . . 6 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
15 fveq1 6644 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
1615oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
1716eleq1d 2874 . . . . . . 7 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1817ralbidv 3162 . . . . . 6 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1914, 18anbi12d 633 . . . . 5 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
20 idlnop 29782 . . . . . 6 ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
21 fvresi 6912 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = 𝑦)
2221oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
23 hiidrcl 28885 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih 𝑦) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
2524rgen 3116 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ
2620, 25pm3.2i 474 . . . . 5 (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
2713, 19, 26elimhyp 4488 . . . 4 (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)
2827simpli 487 . . 3 if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
2927simpri 489 . . 3 𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ
3028, 29lnophmi 29808 . 2 if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp
311, 30dedth 4481 1 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ifcif 4425   I cid 5424   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527   ℋchba 28709   ·ih csp 28712  LinOpclo 28737  HrmOpcho 28740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hvcom 28791  ax-hvass 28792  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvdistr1 28798  ax-hvdistr2 28799  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his1 28872  ax-his2 28873  ax-his3 28874  ax-his4 28875 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-hvsub 28761  df-lnop 29631  df-unop 29633  df-hmop 29634 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator