HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophm 31249
Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·ih (𝑇𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . 2 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp))
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
4 fveq2 6887 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦))
53, 4oveq12d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) = (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)))
65eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ))
76cbvralvw 3235 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
8 fveq1 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
98oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
109eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1110ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
127, 11bitrid 283 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
132, 12anbi12d 632 . . . . 5 (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
14 eleq1 2822 . . . . . 6 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
15 fveq1 6886 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
1615oveq2d 7419 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
1716eleq1d 2819 . . . . . . 7 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1817ralbidv 3178 . . . . . 6 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
1914, 18anbi12d 632 . . . . 5 (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
20 idlnop 31222 . . . . . 6 ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
21 fvresi 7165 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = 𝑦)
2221oveq2d 7419 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
23 hiidrcl 30325 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih 𝑦) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
2524rgen 3064 . . . . . 6 𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ
2620, 25pm3.2i 472 . . . . 5 (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
2713, 19, 26elimhyp 4591 . . . 4 (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)
2827simpli 485 . . 3 if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
2927simpri 487 . . 3 𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ
3028, 29lnophmi 31248 . 2 if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp
311, 30dedth 4584 1 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  ifcif 4526   I cid 5571  cres 5676  cfv 6539  (class class class)co 7403  cr 11104  chba 30149   ·ih csp 30152  LinOpclo 30177  HrmOpcho 30180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-hilex 30229  ax-hfvadd 30230  ax-hvcom 30231  ax-hvass 30232  ax-hv0cl 30233  ax-hvaddid 30234  ax-hfvmul 30235  ax-hvmulid 30236  ax-hvmulass 30237  ax-hvdistr1 30238  ax-hvdistr2 30239  ax-hvmul0 30240  ax-hfi 30309  ax-his1 30312  ax-his2 30313  ax-his3 30314  ax-his4 30315
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-hvsub 30201  df-lnop 31071  df-unop 31073  df-hmop 31074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator