HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophm 31010
Description: A linear operator is Hermitian if ๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem lnophm
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . 2 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ HrmOp))
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
4 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
53, 4oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
65eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
76cbvralvw 3224 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
8 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
98oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)))
109eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1110ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
127, 11bitrid 283 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
132, 12anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
14 eleq1 2822 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
15 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
1615oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)))
1716eleq1d 2819 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1817ralbidv 3171 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1914, 18anbi12d 632 . . . . 5 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
20 idlnop 30983 . . . . . 6 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
21 fvresi 7123 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
2221oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
23 hiidrcl 30086 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2422, 23eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2524rgen 3063 . . . . . 6 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„
2620, 25pm3.2i 472 . . . . 5 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2713, 19, 26elimhyp 4555 . . . 4 (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2827simpli 485 . . 3 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
2927simpri 487 . . 3 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„
3028, 29lnophmi 31009 . 2 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ HrmOp
311, 30dedth 4548 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  ifcif 4490   I cid 5534   โ†พ cres 5639  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   โ„‹chba 29910   ยทih csp 29913  LinOpclo 29938  HrmOpcho 29941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075  ax-his4 30076
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-hvsub 29962  df-lnop 30832  df-unop 30834  df-hmop 30835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator