Theorem lnophm 32224

Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnophm	⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2852	. 2 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp))
2		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇 ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
3		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
4		fveq2 6869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑦))
5	3, 4	oveq12d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) = (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)))
6	5	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
7	6	cbvralvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
8		fveq1 6868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑇‘𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
9	8	oveq2d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
10	9	eleq1d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
11	10	ralbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
12	7, 11	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
13	2, 12	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
14		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ↔ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp))
15		fveq1 6868	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦))
16	15	oveq2d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)))
17	16	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
18	17	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ))
19	14, 18	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℋ) = if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ) ↔ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)))
20		idlnop 32197	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
21		fvresi 7159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( I ↾ ℋ)‘𝑦) = 𝑦)
22	21	oveq2d 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
23		hiidrcl 31300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih 𝑦) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
25	24	rgen 3080	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ
26	20, 25	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (( I ↾ ℋ)‘𝑦)) ∈ ℝ)
27	13, 19, 26	elimhyp 4548	. . . 4 ⊢ (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ)
28	27	simpli 487	. . 3 ⊢ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
29	27	simpri 489	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ))‘𝑦)) ∈ ℝ
30	28, 29	lnophmi 32223	. 2 ⊢ if((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ HrmOp
31	1, 30	dedth 4541	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ HrmOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ifcif 4482   I cid 5543   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074   ℋchba 31124   ·_ih csp 31127  LinOpclo 31152  HrmOpcho 31155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hvcom 31206  ax-hvass 31207  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvmulass 31212  ax-hvdistr1 31213  ax-hvdistr2 31214  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his1 31287  ax-his2 31288  ax-his3 31289  ax-his4 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-hvsub 31176  df-lnop 32046  df-unop 32048  df-hmop 32049

This theorem is referenced by: (None)