HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnophm 31272
Description: A linear operator is Hermitian if ๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘‡
Proof of Theorem lnophm
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . 2 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ HrmOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ HrmOp))
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
4 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))
53, 4oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
65eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
76cbvralvw 3235 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
8 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
98oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)))
109eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1110ralbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
127, 11bitrid 283 . . . . . 6 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
132, 12anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘‡ = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
14 eleq1 2822 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โ†” if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp))
15 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ))
1615oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)))
1716eleq1d 2819 . . . . . . 7 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1817ralbidv 3178 . . . . . 6 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
1914, 18anbi12d 632 . . . . 5 (( I โ†พ โ„‹) = if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โ†’ ((( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†” (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
20 idlnop 31245 . . . . . 6 ( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp
21 fvresi 7171 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
2221oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ))
23 hiidrcl 30348 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
2422, 23eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2524rgen 3064 . . . . . 6 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„
2620, 25pm3.2i 472 . . . . 5 (( I โ†พ โ„‹) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (( I โ†พ โ„‹)โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2713, 19, 26elimhyp 4594 . . . 4 (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
2827simpli 485 . . 3 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ LinOp
2927simpri 487 . . 3 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฆ ยทih (if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹))โ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ โ„
3028, 29lnophmi 31271 . 2 if((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„), ๐‘‡, ( I โ†พ โ„‹)) โˆˆ HrmOp
311, 30dedth 4587 1 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ HrmOp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  ifcif 4529   I cid 5574   โ†พ cres 5679  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  LinOpclo 30200  HrmOpcho 30203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224  df-lnop 31094  df-unop 31096  df-hmop 31097
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator