Theorem hoidmv0val 47686

Description: The dimensional volume of a 0-dimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv0val.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmv0val.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
hoidmv0val.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmv0val	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝜑,𝑎,𝑥,𝑏   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥, 𝑘, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hoidmv0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv0val.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmv0val.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
3		hoidmv0val.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)
4		0fi 9073	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
6	1, 2, 3, 5	hoidmvval 47680	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
8		iftrue 4487	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8850  Fincfn 8976  ℝcr 11202  0cc0 11203  [,)cico 13481  ∏cprod 16077  volcvol 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-seq 14148  df-prod 16078

This theorem is used by:  hoidmvval0b  47693  hoidmvlelem2  47699  hoidmvlelem3  47700  hoidmvle  47703  ovnhoi  47706  vonioo  47785  vonicc  47788