Theorem hoidmv0val 47033

Description: The dimensional volume of a 0-dimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv0val.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmv0val.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
hoidmv0val.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmv0val	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝜑,𝑎,𝑥,𝑏   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmv0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv0val.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmv0val.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
3		hoidmv0val.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)
4		0fi 8986	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
6	1, 2, 3, 5	hoidmvval 47027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
8		iftrue 4467	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4268  ifcif 4461   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890  ℝcr 11035  0cc0 11036  [,)cico 13298  ∏cprod 15866  volcvol 25455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-prod 15867

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  47040  hoidmvlelem2  47046  hoidmvlelem3  47047  hoidmvle  47050  ovnhoi  47053  vonioo  47132  vonicc  47135