Theorem hoidmv0val 43222

Description: The dimensional volume of a 0-dimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv0val.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmv0val.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
hoidmv0val.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmv0val	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝜑,𝑎,𝑥,𝑏   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmv0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv0val.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmv0val.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
3		hoidmv0val.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)
4		0fin 8730	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
6	1, 2, 3, 5	hoidmvval 43216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
8		iftrue 4431	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4243  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  [,)cico 12728  ∏cprod 15251  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  43229  hoidmvlelem2  43235  hoidmvlelem3  43236  hoidmvle  43239  ovnhoi  43242  vonioo  43321  vonicc  43324