Theorem hoidmv0val 45599

Description: The dimensional volume of a 0-dimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv0val.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmv0val.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
hoidmv0val.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidmv0val	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝜑,𝑎,𝑥,𝑏   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmv0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv0val.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoidmv0val.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:∅⟶ℝ)
3		hoidmv0val.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:∅⟶ℝ)
4		0fin 9174	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
6	1, 2, 3, 5	hoidmvval 45593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
8		iftrue 4535	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = 0)
11	6, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4323  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℝcr 11112  0cc0 11113  [,)cico 13331  ∏cprod 15854  volcvol 25213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-prod 15855

This theorem is referenced by:  hoidmvval0b  45606  hoidmvlelem2  45612  hoidmvlelem3  45613  hoidmvle  45616  ovnhoi  45619  vonioo  45698  vonicc  45701