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Theorem vonioo 45398
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioo.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonioo.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
vonioo.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
Assertion
Ref Expression
vonioo (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   π‘˜,𝐿   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐼(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem vonioo
Dummy variables 𝑗 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioo.l . . . . 5 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 vonioo.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
4 feq2 6700 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝐴:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„))
54adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„))
63, 5mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„)
7 vonioo.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
87adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
9 feq2 6700 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝐡:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„))
109adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐡:π‘‹βŸΆβ„ ↔ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„))
118, 10mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„)
121, 6, 11hoidmv0val 45299 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡) = 0)
1312eqcomd 2739 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 = (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡))
14 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (volnβ€˜π‘‹) = (volnβ€˜βˆ…))
15 vonioo.i . . . . . . . 8 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
17 ixpeq1 8902 . . . . . . 7 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
1816, 17eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
1914, 18fveq12d 6899 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))))
2019adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))))
21 0fin 9171 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ Fin)
23 eqid 2733 . . . . . 6 dom (volnβ€˜βˆ…) = dom (volnβ€˜βˆ…)
24 ressxr 11258 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
266, 25fssd 6736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴:βˆ…βŸΆβ„*)
2711, 25fssd 6736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐡:βˆ…βŸΆβ„*)
2822, 23, 26, 27ioovonmbl 45393 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜βˆ…))
2928von0val 45387 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜βˆ…)β€˜Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
3020, 29eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = 0)
31 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ (πΏβ€˜π‘‹) = (πΏβ€˜βˆ…))
3231oveqd 7426 . . . 4 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡))
3332adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐴(πΏβ€˜βˆ…)𝐡))
3413, 30, 333eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
35 neqne 2949 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3635adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
37 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)
38 nfra1 3282 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)
3937, 38nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
402ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
417ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
42 volico 44699 . . . . . . . . . . . 12 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
4443ad4ant14 751 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
45 rspa 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
4645iftrued 4537 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
4746adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
4844, 47eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
4948ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))))
5039, 49ralrimi 3255 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5150prodeq2d 15866 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
5251eqcomd 2739 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
53 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘—))
54 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘—))
5553, 54breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)))
5655cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
5756biimpi 215 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
5857adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
59 vonioo.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6160adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
622adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
6362adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
647adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
6564adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
66 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6766adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6856, 45sylanbr 583 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
6968adantll 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
70 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘˜))
7170oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)))
7271cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)))
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
74 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (1 / π‘š) = (1 / 𝑛))
7574oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
7675mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
7773, 76eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
7877cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
79 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
80 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘šπ‘‹
81 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)
82 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπ‘˜
8381, 82nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)
84 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š[,)
85 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(π΅β€˜π‘˜)
8683, 84, 85nfov 7439 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
8780, 86nfixpw 8910 . . . . . . . 8 β„²π‘šXπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
88 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š) = ((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›))
8988fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š)β€˜π‘˜) = (((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜))
9089oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9190ixpeq2dv 8907 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9279, 87, 91cbvmpt 5260 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((((π‘š ∈ β„• ↦ (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘—) + (1 / π‘š))))β€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9361, 63, 65, 67, 69, 15, 78, 92vonioolem2 45397 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
9458, 93syldan 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
951, 60, 66, 62, 64hoidmvn0val 45300 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
9695adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
9752, 94, 963eqtr4d 2783 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
98 rexnal 3101 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
9998bicomi 223 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10099biimpi 215 . . . . . . . 8 (Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
101100adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
102 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
10341adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10440adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
105103, 104lenltd 11360 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) ↔ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)))
106102, 105mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
107106ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
108107reximdva 3169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
109108adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 Β¬ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
110101, 109mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
111110adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
112 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(volnβ€˜π‘‹)
113 nfixp1 8912 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
11415, 113nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΌ
115112, 114nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ)
116 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡)
117115, 116nfeq 2917 . . . . . . 7 β„²π‘˜((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡)
11859vonmea 45290 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (volnβ€˜π‘‹) ∈ Meas)
119118mea0 45170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆ…) = 0)
1201193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆ…) = 0)
12115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
122 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
123 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
12424, 40sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
1251243adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
12624, 41sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
1271263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
128 ioo0 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ (((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
129125, 127, 128syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
130123, 129mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…)
131 rspe 3247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…)
132122, 130, 131syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…)
133 ixp0 8925 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) = βˆ…)
135121, 134eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ 𝐼 = βˆ…)
136135fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆ…))
137 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
138137adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
139138, 95syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1401393adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
141 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ 𝑋 ↔ π‘˜ ∈ 𝑋))
142 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘˜))
143142, 70breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) ↔ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)))
144141, 1433anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))))
145144imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)))
146 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
147593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
148 volicore 45297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
14940, 41, 148syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
150149recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
1511503ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
152 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑋)
15353, 54oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—)))
154153fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))))
155154adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ = 𝑗) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))))
1562ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1577ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
158 volico 44699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π΄β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
159156, 157, 158syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
1601593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0))
161 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—))
162157, 156lenltd 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)))
1631623adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ ((π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—)))
164161, 163mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—))
165164iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ if((π΄β€˜π‘—) < (π΅β€˜π‘—), ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)), 0) = 0)
166160, 165eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = 0)
167166adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ = 𝑗) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘—)[,)(π΅β€˜π‘—))) = 0)
168155, 167eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ = 𝑗) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
169146, 147, 151, 152, 168fprodeq0g 15938 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘—) ≀ (π΄β€˜π‘—)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
170145, 169chvarvv 2003 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 0)
171140, 170eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = 0)
172120, 136, 1713eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
1731723exp 1120 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))))
174173adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))))
17537, 117, 174rexlimd 3264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡)))
176175imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑋 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
177111, 176syldan 592 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜)) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
17897, 177pm2.61dan 812 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
17936, 178syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
18034, 179pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  βˆcprod 15849  volcvol 24980  volncvoln 45254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-pws 17395  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-abv 20425  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-phl 21179  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-tng 24093  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-cncf 24394  df-clm 24579  df-cph 24685  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-salg 45025  df-sumge0 45079  df-mea 45166  df-ome 45206  df-caragen 45208  df-ovoln 45253  df-voln 45255
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