Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioo 46697
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioo.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioo.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioo.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
vonioo.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonioo (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑘,𝐿   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonioo
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioo.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonioo.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 6717 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonioo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 6717 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 46598 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonioo.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 8948 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6913 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
21 0fi 9082 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2737 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
24 ressxr 11305 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → ℝ ⊆ ℝ*)
266, 25fssd 6753 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ*)
2711, 25fssd 6753 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ*)
2822, 23, 26, 27ioovonmbl 46692 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2928von0val 46686 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))) = 0)
3020, 29eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
31 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
3231oveqd 7448 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3332adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3413, 30, 333eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
35 neqne 2948 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3635adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
37 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
38 nfra1 3284 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)
3937, 38nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
402ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
417ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
42 volico 45998 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4443ad4ant14 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
45 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
4645iftrued 4533 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746adantll 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4844, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4948ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
5039, 49ralrimi 3257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5150prodeq2d 15957 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5251eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
53 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
54 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5553, 54breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
5655cbvralvw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5756biimpi 216 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5857adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
59 vonioo.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
6160adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
622adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6362adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
647adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
66 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6766adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6856, 45sylanbr 582 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
6968adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
70 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
7170oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7271cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
74 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7574oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
7675mpteq2dv 5244 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7773, 76eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7877cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
79 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
80 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑚𝑋
81 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)
82 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑘
8381, 82nffv 6916 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)
84 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚[,)
85 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐵𝑘)
8683, 84, 85nfov 7461 . . . . . . . . 9 𝑚((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
8780, 86nfixpw 8956 . . . . . . . 8 𝑚X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
88 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
8988fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9190ixpeq2dv 8953 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9279, 87, 91cbvmpt 5253 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9361, 63, 65, 67, 69, 15, 78, 92vonioolem2 46696 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
9458, 93syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
951, 60, 66, 62, 64hoidmvn0val 46599 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9695adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9752, 94, 963eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
98 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
9998bicomi 224 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10099biimpi 216 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
101100adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
102 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10341adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
10440adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
105103, 104lenltd 11407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)))
106102, 105mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
107106ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
108107reximdva 3168 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
110101, 109mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
111110adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
112 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
113 nfixp1 8958 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
11415, 113nfcxfr 2903 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
115112, 114nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
116 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
117115, 116nfeq 2919 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11859vonmea 46589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
119118mea0 46469 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1201193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
122 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
123 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
12424, 40sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
1251243adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
12624, 41sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
1271263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 ioo0 13412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
129125, 127, 128syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
130123, 129mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
131 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
132122, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
133 ixp0 8971 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
135121, 134eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
136135fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
137 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
138137adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
139138, 95syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1401393adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
141 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
142 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
143142, 70breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
144141, 1433anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))))
145144imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
146 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
147593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
148 volicore 46596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
14940, 41, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
150149recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1511503ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
152 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15353, 54oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
154153fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
155154adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1562ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1577ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
158 volico 45998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
159156, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1601593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
161 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
162157, 156lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
1631623adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
164161, 163mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
165164iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
166160, 165eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168155, 167eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
169146, 147, 151, 152, 168fprodeq0g 16030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170145, 169chvarvv 1998 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171140, 170eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
172120, 136, 1713eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1731723exp 1120 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
174173adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17537, 117, 174rexlimd 3266 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
176175imp 406 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
177111, 176syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17897, 177pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17936, 178syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18034, 179pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cprod 15939  volcvol 25498  volncvoln 46553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-pws 17494  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-abv 20810  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-phl 21644  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-cncf 24904  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465  df-ome 46505  df-caragen 46507  df-ovoln 46552  df-voln 46554
This theorem is referenced by:  vonn0ioo  46702
  Copyright terms: Public domain W3C validator