Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioo 41539
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioo.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioo.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioo.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
vonioo.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
Assertion
Ref Expression
vonioo (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑘,𝐿   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem vonioo
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioo.l . . . . 5 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 vonioo.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
32adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 feq2 6207 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
54adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐴:∅⟶ℝ))
63, 5mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ)
7 vonioo.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
87adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9 feq2 6207 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
109adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐵:𝑋⟶ℝ ↔ 𝐵:∅⟶ℝ))
118, 10mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ)
121, 6, 11hoidmv0val 41440 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿‘∅)𝐵) = 0)
1312eqcomd 2771 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
14 fveq2 6377 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (voln‘𝑋) = (voln‘∅))
15 vonioo.i . . . . . . . 8 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
17 ixpeq1 8126 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1816, 17eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝐼 = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
1914, 18fveq12d 6384 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
2019adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
21 0fin 8397 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ Fin)
23 eqid 2765 . . . . . 6 dom (voln‘∅) = dom (voln‘∅)
24 ressxr 10339 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → ℝ ⊆ ℝ*)
266, 25fssd 6239 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴:∅⟶ℝ*)
2711, 25fssd 6239 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵:∅⟶ℝ*)
2822, 23, 26, 27ioovonmbl 41534 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘∅))
2928von0val 41528 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘∅)‘X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))) = 0)
3020, 29eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = 0)
31 fveq2 6377 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (𝐿𝑋) = (𝐿‘∅))
3231oveqd 6861 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3332adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐴(𝐿‘∅)𝐵))
3413, 30, 333eqtr4d 2809 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
35 neqne 2945 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3635adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
37 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑋 ≠ ∅)
38 nfra1 3088 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)
3937, 38nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
402ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
417ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
42 volico 40840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4340, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4443ad4ant14 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
45 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
4645iftrued 4253 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4746adantll 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘), ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4844, 47eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
4948ex 401 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝑘𝑋 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))))
5039, 49ralrimi 3104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5150prodeq2d 14938 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
5251eqcomd 2771 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
53 fveq2 6377 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑗))
54 fveq2 6377 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑗))
5553, 54breq12d 4824 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
5655cbvralv 3319 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5756biimpi 207 . . . . . . 7 (∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
5857adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
59 vonioo.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6059adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
6160adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
622adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6362adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
647adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
6564adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
66 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6766adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → 𝑋 ≠ ∅)
6856, 45sylanbr 577 . . . . . . . 8 ((∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
6968adantll 705 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
70 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
7170oveq1d 6859 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7271cbvmptv 4911 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
74 oveq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑛))
7574oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
7675mpteq2dv 4906 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7773, 76eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
7877cbvmptv 4911 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
79 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
80 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑚𝑋
81 nffvmpt1 6388 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)
82 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑘
8381, 82nffv 6387 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)
84 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑚[,)
85 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐵𝑘)
8683, 84, 85nfov 6874 . . . . . . . . 9 𝑚((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
8780, 86nfixp 8134 . . . . . . . 8 𝑚X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))
88 fveq2 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛))
8988fveq1d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘))
9089oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9190ixpeq2dv 8131 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9279, 87, 91cbvmpt 4910 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑗𝑋 ↦ ((𝐴𝑗) + (1 / 𝑚))))‘𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9361, 63, 65, 67, 69, 15, 78, 92vonioolem2 41538 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗𝑋 (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
9458, 93syldan 585 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
951, 60, 66, 62, 64hoidmvn0val 41441 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9695adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9752, 94, 963eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
98 rexnal 3141 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
9998bicomi 215 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10099biimpi 207 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
101100adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
102 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
10341adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
10440adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
105103, 104lenltd 10439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) ↔ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)))
106102, 105mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
107106ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
108107reximdva 3163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
109108adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → (∃𝑘𝑋 ¬ (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
110101, 109mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
111110adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
112 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑘(voln‘𝑋)
113 nfixp1 8135 . . . . . . . . . 10 𝑘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
11415, 113nfcxfr 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝐼
115112, 114nffv 6387 . . . . . . . 8 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼)
116 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘(𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
117115, 116nfeq 2919 . . . . . . 7 𝑘((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)
11859vonmea 41431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
119118mea0 41311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
1201193ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘∅) = 0)
12115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
122 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝑘𝑋)
123 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
12424, 40sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
1251243adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
12624, 41sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
1271263adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
128 ioo0 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
129125, 127, 128syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
130123, 129mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
131 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
132122, 130, 131syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
133 ixp0 8148 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) = ∅)
135121, 134eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → 𝐼 = ∅)
136135fveq2d 6381 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘∅))
137 ne0i 4087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑋𝑋 ≠ ∅)
138137adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
139138, 95syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1401393adant3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
141 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑋𝑘𝑋))
142 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
143142, 70breq12d 4824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)))
144141, 1433anbi23d 1563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ↔ (𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘))))
145144imbi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0) ↔ ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)))
146 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
147593ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑋 ∈ Fin)
148 volicore 41438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
14940, 41, 148syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
150149recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1511503ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
152 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → 𝑗𝑋)
15353, 54oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗)))
154153fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))))
1562ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴𝑗) ∈ ℝ)
1577ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
158 volico 40840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
159156, 157, 158syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
1601593adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0))
161 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗))
162157, 156lenltd 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑋) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
1631623adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗) ↔ ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗)))
164161, 163mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ¬ (𝐴𝑗) < (𝐵𝑗))
165164iffalsed 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → if((𝐴𝑗) < (𝐵𝑗), ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)), 0) = 0)
166160, 165eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
167166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑗)[,)(𝐵𝑗))) = 0)
168155, 167eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
169146, 147, 151, 152, 168fprodeq0g 15010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑋 ∧ (𝐵𝑗) ≤ (𝐴𝑗)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
170145, 169chvarv 2369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 0)
171140, 170eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = 0)
172120, 136, 1713eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋 ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
1731723exp 1148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
174173adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑘𝑋 → ((𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))))
17537, 117, 174rexlimd 3173 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵)))
176175imp 395 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ∃𝑘𝑋 (𝐵𝑘) ≤ (𝐴𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
177111, 176syldan 585 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ ¬ ∀𝑘𝑋 (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘)) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17897, 177pm2.61dan 847 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
17936, 178syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
18034, 179pm2.61dan 847 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cmpt2 6846  𝑚 cmap 8062  Xcixp 8115  Fincfn 8162  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  cprod 14921  volcvol 23524  volncvoln 41395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cc 9512  ax-ac2 9540  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-tpos 7557  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-ac 9192  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-prod 14922  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-pws 16379  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-mhm 17604  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-mulg 17811  df-subg 17858  df-ghm 17925  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-cring 18820  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-rnghom 18987  df-drng 19021  df-field 19022  df-subrg 19050  df-abv 19089  df-staf 19117  df-srng 19118  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lmhm 19297  df-lvec 19378  df-sra 19449  df-rgmod 19450  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-cnfld 20023  df-refld 20228  df-phl 20249  df-dsmm 20355  df-frlm 20370  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-nm 22669  df-ngp 22670  df-tng 22671  df-nrg 22672  df-nlm 22673  df-cncf 22963  df-clm 23144  df-cph 23249  df-tcph 23250  df-rrx 23465  df-ovol 23525  df-vol 23526  df-salg 41169  df-sumge0 41220  df-mea 41307  df-ome 41347  df-caragen 41349  df-ovoln 41394  df-voln 41396
This theorem is referenced by:  vonn0ioo  41544
  Copyright terms: Public domain W3C validator