Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvn0val 42851
Description: The dimensional volume of a non-0-dimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvn0val.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidmvn0val.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidmvn0val.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoidmvn0val.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvn0val.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidmvn0val (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvn0val
StepHypRef Expression
1 hoidmvn0val.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoidmvn0val.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
3 hoidmvn0val.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
4 hoidmvn0val.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
51, 2, 3, 4hoidmvval 42844 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
6 hoidmvn0val.n . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
76neneqd 3019 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 = ∅)
87iffalsed 4476 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
95, 8eqtrd 2854 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  c0 4289  ifcif 4465  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  m cmap 8398  Fincfn 8501  cr 10528  0cc0 10529  [,)cico 12732  cprod 15251  volcvol 24056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-prod 15252
This theorem is referenced by:  hsphoidmvle2  42852  hsphoidmvle  42853  hoidmvval0  42854  hoiprodp1  42855  hoidmv1le  42861  hoidmvlelem2  42863  hoidmvlelem3  42864  hoidmvlelem4  42865  ovnhoilem2  42869  ovnhoi  42870  ovnlecvr2  42877  hoidifhspdmvle  42887  hspmbllem1  42893  hspmbllem2  42894  vonn0hoi  42937  vonioo  42949  vonicc  42952  vonn0ioo  42954  vonn0icc  42955
  Copyright terms: Public domain W3C validator