Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncol 29354
 Description: The singletons of collinear vectors have the same span. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansncol ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) = (span‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansncol
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
21ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
32adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
4 ax-hvmulass 28793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴) = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))
543com13 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴) = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))
653expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴) = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))
76eqeq2d 2812 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴) ↔ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
87biimprd 251 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) → 𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴)))
9 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑧 · 𝐴) = ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴))
109rspceeqv 3589 . . . . . . 7 (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) · 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴))
113, 8, 10syl6an 683 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
1211rexlimdva 3246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
13123adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
14 divcl 11297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
15143expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℋ)
19 ax-hvmulass 28793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴)))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) · 𝐴) = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴)))
21 divcan1 11300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
22213expb 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
2322adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
2423oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
2520, 24eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴)) = (𝑧 · 𝐴))
2625eqeq2d 2812 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴)) ↔ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
2726biimprd 251 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → 𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴))))
28 oveq1 7146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 / 𝐵) → (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴)))
2928rspceeqv 3589 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))
3016, 27, 29syl6an 683 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
3130exp43 440 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))))))
3231com4l 92 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))))))
33323imp 1108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)))))
3433rexlimdv 3245 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
3513, 34impbid 215 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
36 hvmulcl 28799 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℋ)
3736ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℋ)
38 elspansn 29352 . . . . 5 ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
40393adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 · (𝐵 · 𝐴))))
41 elspansn 29352 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
42413ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 · 𝐴)))
4335, 40, 423bitr4d 314 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) ↔ 𝑥 ∈ (span‘{𝐴})))
4443eqrdv 2799 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (span‘{(𝐵 · 𝐴)}) = (span‘{𝐴}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530   · cmul 10535   / cdiv 11290   ℋchba 28705   ·ℎ csm 28707  spancspn 28718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-span 29095 This theorem is referenced by:  spansneleq  29356  superpos  30140
 Copyright terms: Public domain W3C validator