Theorem spansncol 32103

Description: The singletons of collinear vectors have the same span. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansncol	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) = (span‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansncol

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
3	2	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
4		ax-hvmulass 31542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
5	4	3com13 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
6	5	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
7	6	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴) ↔ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
8	7	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) → 𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴)))
9		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 · 𝐵) → (𝑧 ·ℎ 𝐴) = ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴))
10	9	rspceeqv 3598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑥 = ((𝑦 · 𝐵) ·ℎ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
11	3, 8, 10	syl6an 697	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
12	11	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
13	12	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
14		divcl 11949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
15	14	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
16	15	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ)
17		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℋ)
19		ax-hvmulass 31542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
21		divcan1 11952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
22	21	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
23	22	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑧)
24	23	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝑧 / 𝐵) · 𝐵) ·ℎ 𝐴) = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
25	20, 24	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
26	25	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ↔ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
27	26	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → 𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
28		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧 / 𝐵) → (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
29	28	rspceeqv 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑥 = ((𝑧 / 𝐵) ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))
30	16, 27, 29	syl6an 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
31	30	exp43 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))))))
32	31	com4l 93	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))))))
33	32	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)))))
34	33	rexlimdv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
35	13, 34	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
36		hvmulcl 31548	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
37	36	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ)
38		elspansn 32101	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
40	39	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑦 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐴))))
41		elspansn 32101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
42	41	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴)))
43	35, 40, 42	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) ↔ 𝑥 ∈ (span‘{𝐴})))
44	43	eqrdv 2758	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (span‘{(𝐵 ·ℎ 𝐴)}) = (span‘{𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {csn 4583  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171   · cmul 11176   / cdiv 11942   ℋchba 31454   ·_ℎ csm 31456  spancspn 31467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10484  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251  ax-hilex 31534  ax-hfvadd 31535  ax-hvcom 31536  ax-hvass 31537  ax-hv0cl 31538  ax-hvaddid 31539  ax-hfvmul 31540  ax-hvmulid 31541  ax-hvmulass 31542  ax-hvdistr1 31543  ax-hvdistr2 31544  ax-hvmul0 31545  ax-hfi 31614  ax-his1 31617  ax-his2 31618  ax-his3 31619  ax-his4 31620  ax-hcompl 31737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-lm 23508  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cfil 25537  df-cau 25538  df-cmet 25539  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-gdiv 31031  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-vs 31134  df-nmcv 31135  df-ims 31136  df-dip 31236  df-ssp 31257  df-ph 31348  df-cbn 31398  df-hnorm 31503  df-hba 31504  df-hvsub 31506  df-hlim 31507  df-hcau 31508  df-sh 31742  df-ch 31756  df-oc 31787  df-ch0 31788  df-span 31844

This theorem is used by:  spansneleq  32105  superpos  32889