HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncol 30552
Description: The singletons of collinear vectors have the same span. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansncol ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) = (spanβ€˜{𝐴}))

Proof of Theorem spansncol
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
21ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
32adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
4 ax-hvmulass 29991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
543com13 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
653expa 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
76eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ = ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) ↔ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
87biimprd 248 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) β†’ π‘₯ = ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴)))
9 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 Β· 𝐡) β†’ (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) = ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴))
109rspceeqv 3600 . . . . . . 7 (((𝑦 Β· 𝐡) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ = ((𝑦 Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴))
113, 8, 10syl6an 683 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
1211rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
13123adant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
14 divcl 11826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝑧 / 𝐡) ∈ β„‚)
15143expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝑧 / 𝐡) ∈ β„‚)
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝑧 / 𝐡) ∈ β„‚)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
19 ax-hvmulass 29991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 / 𝐡) ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
21 divcan1 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ ((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) = 𝑧)
22213expb 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ ((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) = 𝑧)
2322adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ ((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) = 𝑧)
2423oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (((𝑧 / 𝐡) Β· 𝐡) Β·β„Ž 𝐴) = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴))
2520, 24eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴))
2625eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (π‘₯ = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) ↔ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
2726biimprd 248 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ π‘₯ = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
28 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧 / 𝐡) β†’ (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
2928rspceeqv 3600 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝐡) ∈ β„‚ ∧ π‘₯ = ((𝑧 / 𝐡) Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))
3016, 27, 29syl6an 683 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
3130exp43 438 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 β‰  0 β†’ (π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))))))
3231com4l 92 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 β‰  0 β†’ (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))))))
33323imp 1112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)))))
3433rexlimdv 3151 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
3513, 34impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
36 hvmulcl 29997 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 Β·β„Ž 𝐴) ∈ β„‹)
3736ancoms 460 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 Β·β„Ž 𝐴) ∈ β„‹)
38 elspansn 30550 . . . . 5 ((𝐡 Β·β„Ž 𝐴) ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
40393adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑦 Β·β„Ž (𝐡 Β·β„Ž 𝐴))))
41 elspansn 30550 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
42413ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = (𝑧 Β·β„Ž 𝐴)))
4335, 40, 423bitr4d 311 . 2 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) ↔ π‘₯ ∈ (spanβ€˜{𝐴})))
4443eqrdv 2735 1 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (spanβ€˜{(𝐡 Β·β„Ž 𝐴)}) = (spanβ€˜{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058   Β· cmul 11063   / cdiv 11819   β„‹chba 29903   Β·β„Ž csm 29905  spancspn 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-span 30293
This theorem is referenced by:  spansneleq  30554  superpos  31338
  Copyright terms: Public domain W3C validator