Theorem iccpartgtl 47400

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtl	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		elnnuz 12813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fzisfzounsn 13716	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
6	5	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀})))
7		elun 4112	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9		velsn 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
11	10	orbi2d 915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
12	6, 8, 11	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
14	13	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
15	14	rspccv 3582	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	1, 16	iccpartigtl 47397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
18	15, 17	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
19	1, 16	iccpartlt 47398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
21		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
23	20, 22	breqtrrd 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
25	18, 24	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
26	25	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
27	12, 26	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
28	27	ralrimiv 3124	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3909  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184  ℕcn 12162  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  RePartciccp 47387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-iccp 47388

This theorem is referenced by:  iccpartgel  47403