Theorem iccpartgtl 47424

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtl	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		elnnuz 12837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fzisfzounsn 13740	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
6	5	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀})))
7		elun 4116	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9		velsn 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
11	10	orbi2d 915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
12	6, 8, 11	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
14	13	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
15	14	rspccv 3585	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	1, 16	iccpartigtl 47421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
18	15, 17	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
19	1, 16	iccpartlt 47422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
21		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
23	20, 22	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
25	18, 24	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
26	25	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
27	12, 26	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
28	27	ralrimiv 3124	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3912  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  RePartciccp 47411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-iccp 47412

This theorem is referenced by:  iccpartgel  47427