Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgtl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgtl 46666
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartgtl (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 elnnuz 12870 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 fzisfzounsn 13750 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...𝑀) = ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
65eleq2d 2813 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀})))
7 elun 4143 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9 velsn 4639 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1110orbi2d 912 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
126, 8, 113bitrd 305 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
1413breq2d 5153 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1514rspccv 3603 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
16 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
171, 16iccpartigtl 46663 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))
1815, 17syl11 33 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
191, 16iccpartlt 46664 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
21 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
2320, 22breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
2423ex 412 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2518, 24jaoi 854 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2625com12 32 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2712, 26sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2827ralrimiv 3139 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆͺ cun 3941  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46654
This theorem is referenced by:  iccpartgel  46669
  Copyright terms: Public domain W3C validator