Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgtl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgtl 45866
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgtl (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 elnnuz 12848 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
4 fzisfzounsn 13726 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
65eleq2d 2818 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀})))
7 elun 4144 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9 velsn 4638 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1110orbi2d 914 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
126, 8, 113bitrd 304 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13 fveq2 6878 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
1413breq2d 5153 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1514rspccv 3606 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
16 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
171, 16iccpartigtl 45863 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
1815, 17syl11 33 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
191, 16iccpartlt 45864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
21 fveq2 6878 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
2320, 22breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
2423ex 413 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2518, 24jaoi 855 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2625com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2712, 26sylbid 239 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
2827ralrimiv 3144 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cun 3942  {csn 4622   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093   < clt 11230  cn 12194  cuz 12804  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  RePartciccp 45853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-iccp 45854
This theorem is referenced by:  iccpartgel  45869
  Copyright terms: Public domain W3C validator