Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgtl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgtl 46829
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartgtl (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 elnnuz 12896 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
31, 2sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4 fzisfzounsn 13776 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...𝑀) = ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) = ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
65eleq2d 2811 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀})))
7 elun 4141 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
87a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9 velsn 4640 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1110orbi2d 913 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
126, 8, 113bitrd 304 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
1413breq2d 5155 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
1514rspccv 3598 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
16 iccpartgtprec.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
171, 16iccpartigtl 46826 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))
1815, 17syl11 33 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
191, 16iccpartlt 46827 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2019adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
21 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
2221adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
2320, 22breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
2423ex 411 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2518, 24jaoi 855 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2625com12 32 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2712, 26sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2827ralrimiv 3135 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βˆͺ cun 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  β„•cn 12242  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  RePartciccp 46816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-iccp 46817
This theorem is referenced by:  iccpartgel  46832
  Copyright terms: Public domain W3C validator