Theorem iccpartgtl 48326

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper bound are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgtl	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgtl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		elnnuz 12927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
3	1, 2	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
4		fzisfzounsn 13836	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) = ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}))
6	5	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀})))
7		elun 4100	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((1..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
9		velsn 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
11	10	orbi2d 929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
12	6, 8, 11	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
13		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
14	13	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
15	14	rspccv 3573	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	1, 16	iccpartigtl 48323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
18	15, 17	syl11 34	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
19	1, 16	iccpartlt 48324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
21		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
23	20, 22	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
25	18, 24	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
26	25	com12 33	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
27	12, 26	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
28	27	ralrimiv 3153	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267  ℕcn 12257  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  RePartciccp 48313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-iccp 48314

This theorem is used by:  iccpartgel  48329