Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 46083
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 0zd 12569 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ∈ β„€)
3 nnz 12578 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 nngt0 12242 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1128 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 46020 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀) β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 12333 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 7423 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 4163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} βˆͺ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2819 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀))))
15 elun 4148 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4645 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} β†’ 𝑖 = 0)
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
201, 19iccpartlt 46082 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2218, 21eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2322ex 413 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
25 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2625breq1d 5158 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2726rspccv 3609 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
281, 19iccpartiltu 46080 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2927, 28syl11 33 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3024, 29jaoi 855 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3130com12 32 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3215, 31biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3314, 32sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3433ralrimiv 3145 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  β„•cn 12211  β„€cz 12557  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by:  iccpartleu  46086
  Copyright terms: Public domain W3C validator