Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 41884
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 0zd 11596 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3 nnz 11606 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4 nngt0 11255 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1122 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 41855 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 11338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 3918 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15 elun 3904 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4334 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
1817adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
201, 19iccpartlt 41883 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2120adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑀))
2218, 21eqbrtrd 4809 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
2322ex 397 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
25 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2625breq1d 4797 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
2726rspccv 3457 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
281, 19iccpartiltu 41881 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
2927, 28syl11 33 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3024, 29jaoi 846 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3130com12 32 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3215, 31syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3314, 32sylbid 230 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3433ralrimiv 3114 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cun 3721  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cn 11226  cz 11584  ..^cfzo 12673  RePartciccp 41872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-iccp 41873
This theorem is referenced by:  iccpartleu  41887
  Copyright terms: Public domain W3C validator