Theorem iccpartltu 44550

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartltu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		0zd 12188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3		nnz 12199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nngt0 11861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
5	2, 3, 4	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7		fzopred 44487	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9		0p1e1 11952	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
11	10	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
12	11	uneq2d 4077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
13	8, 12	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
14	13	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15		elun 4063	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16		elsni 4558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17		fveq2 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
19		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
20	1, 19	iccpartlt 44549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
22	18, 21	eqbrtrd 5075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
23	22	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
24	16, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
25		fveq2 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
26	25	breq1d 5063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
27	26	rspccv 3534	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
28	1, 19	iccpartiltu 44547	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
29	27, 28	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	24, 29	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	30	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	15, 31	syl5bi 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
33	14, 32	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
34	33	ralrimiv 3104	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∪ cun 3864  {csn 4541   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ..^cfzo 13238  RePartciccp 44538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-iccp 44539

This theorem is referenced by:  iccpartleu  44553