Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartltu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartltu 46670
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartltu (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 0zd 12574 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ∈ β„€)
3 nnz 12583 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 nngt0 12247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
52, 3, 43jca 1125 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
7 fzopred 46607 . . . . . 6 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀) β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)))
9 0p1e1 12338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
1110oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
1211uneq2d 4158 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({0} βˆͺ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} βˆͺ (1..^𝑀)))
138, 12eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) = ({0} βˆͺ (1..^𝑀)))
1413eleq2d 2813 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀))))
15 elun 4143 . . . 4 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16 elsni 4640 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {0} β†’ 𝑖 = 0)
17 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
19 iccpartgtprec.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
201, 19iccpartlt 46669 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2218, 21eqbrtrd 5163 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2322ex 412 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2416, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
25 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2625breq1d 5151 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2726rspccv 3603 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
281, 19iccpartiltu 46667 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
2927, 28syl11 33 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3024, 29jaoi 854 . . . . 5 ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3130com12 32 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3215, 31biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ (1..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3314, 32sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3433ralrimiv 3139 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆͺ cun 3941  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  β„•cn 12216  β„€cz 12562  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46659
This theorem is referenced by:  iccpartleu  46673
  Copyright terms: Public domain W3C validator