Theorem iccpartltu 48506

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower bound are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartltu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartltu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		0zd 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
3		nnz 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nngt0 12369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
5	2, 3, 4	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
7		fzopred 48392	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)))
9		0p1e1 12463	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
11	10	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)..^𝑀) = (1..^𝑀))
12	11	uneq2d 4115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0} ∪ ((0 + 1)..^𝑀)) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
13	8, 12	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) = ({0} ∪ (1..^𝑀)))
14	13	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀))))
15		elun 4100	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)))
16		elsni 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → 𝑖 = 0)
17		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
19		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
20	1, 19	iccpartlt 48505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑀))
22	18, 21	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
23	22	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
24	16, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
25		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
26	25	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
27	26	rspccv 3574	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
28	1, 19	iccpartiltu 48503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
29	27, 28	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	24, 29	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	30	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	15, 31	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
33	14, 32	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
34	33	ralrimiv 3154	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ..^cfzo 13788  RePartciccp 48494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-iccp 48495

This theorem is used by:  iccpartleu  48509