Theorem iccpartgel 46798

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgel	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzpred 13589	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
7	6	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8		elun 4149	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10		velsn 4648	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12		0p1e1 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
14	13	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
15	14	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
16	11, 15	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
17	7, 9, 16	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18		iccpartgtprec.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19		0elfz 13638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	1, 18, 20	iccpartxr 46788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22	21	xrleidd 13171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23		fveq2 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
24	23	breq2d 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
25	22, 24	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
26	21	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
27	1	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28	18	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29		1nn0 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31		elnn0uz 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘0))
32	30, 31	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
33		fzss1 13580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
35	34	sselda 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
36	27, 28, 35	iccpartxr 46788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
37	1, 18	iccpartgtl 46795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
38		fveq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
39	38	breq2d 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
40	39	rspccv 3608	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
42	41	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
43	26, 36, 42	xrltled 13169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
44	43	expcom 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
45	25, 44	jaoi 855	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
46	45	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
47	17, 46	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
48	47	ralrimiv 3142	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  ℝ^*cxr 11285   < clt 11286   ≤ cle 11287  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  RePartciccp 46782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-iccp 46783

This theorem is referenced by:  iccpartrn  46799  iccpartiun  46803  iccpartdisj  46806