Theorem iccpartgel 44881

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgel	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzpred 13304	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
7	6	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8		elun 4083	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10		velsn 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12		0p1e1 12095	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
14	13	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
15	14	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
16	11, 15	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
17	7, 9, 16	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18		iccpartgtprec.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19		0elfz 13353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	1, 18, 20	iccpartxr 44871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22	21	xrleidd 12886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
24	23	breq2d 5086	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
25	22, 24	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
26	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
27	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29		1nn0 12249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31		elnn0uz 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘0))
32	30, 31	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
33		fzss1 13295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
35	34	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
36	27, 28, 35	iccpartxr 44871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
37	1, 18	iccpartgtl 44878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
38		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
39	38	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
40	39	rspccv 3558	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
42	41	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
43	26, 36, 42	xrltled 12884	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
44	43	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
45	25, 44	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
46	45	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
47	17, 46	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
48	47	ralrimiv 3102	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  RePartciccp 44865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-iccp 44866

This theorem is referenced by:  iccpartrn  44882  iccpartiun  44886  iccpartdisj  44889