Theorem iccpartgel 48255

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgel	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzpred 13621	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
7	6	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8		elun 4107	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10		velsn 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12		0p1e1 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
14	13	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
15	14	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
16	11, 15	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
17	7, 9, 16	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18		iccpartgtprec.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19		0elfz 13673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	1, 18, 20	iccpartxr 48245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22	21	xrleidd 13197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
24	23	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
25	22, 24	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
26	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
27	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29		1nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31		elnn0uz 12923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘0))
32	30, 31	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
33		fzss1 13612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
35	34	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
36	27, 28, 35	iccpartxr 48245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
37	1, 18	iccpartgtl 48252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
38		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
39	38	breq2d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
40	39	rspccv 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
41	37, 40	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
42	41	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
43	26, 36, 42	xrltled 13195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
44	43	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
45	25, 44	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
46	45	com12 33	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
47	17, 46	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
48	47	ralrimiv 3158	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   ≤ cle 11263  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  RePartciccp 48239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-iccp 48240

This theorem is used by:  iccpartrn  48256  iccpartiun  48260  iccpartdisj  48263