Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 45707
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnnn0d 12478 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 elnn0uz 12813 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42, 3sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5 fzpred 13495 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 4109 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4603 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 7373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 918 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 305 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
19 0elfz 13544 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 45697 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 13077 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜0))
23 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
2423breq2d 5118 . . . . . 6 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜0)))
2522, 24syl5ibr 246 . . . . 5 (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2621adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
271adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2818adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
29 1nn0 12434 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
31 elnn0uz 12813 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„•0 ↔ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
33 fzss1 13486 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3534sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 45697 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 45704 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))
38 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3938breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4039rspccv 3577 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4241imp 408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
4326, 36, 42xrltled 13075 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
4443expcom 415 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4525, 44jaoi 856 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4645com12 32 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4717, 46sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4847ralrimiv 3139 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  RePartciccp 45691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-iccp 45692
This theorem is referenced by:  iccpartrn  45708  iccpartiun  45712  iccpartdisj  45715
  Copyright terms: Public domain W3C validator