Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 46097
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 elnn0uz 12867 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42, 3sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5 fzpred 13549 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 4149 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ({0} βˆͺ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4645 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 12334 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2820 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 918 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 305 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
19 0elfz 13598 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 46087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 13131 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜0))
23 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜0))
2423breq2d 5161 . . . . . 6 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–) ↔ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜0)))
2522, 24imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑖 = 0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
2621adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ ℝ*)
271adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2818adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
29 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
31 elnn0uz 12867 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„•0 ↔ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
33 fzss1 13540 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (1...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† (0...𝑀))
3534sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 46087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 46094 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3938breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) ↔ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4039rspccv 3610 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4241imp 408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) < (π‘ƒβ€˜π‘–))
4326, 36, 42xrltled 13129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
4443expcom 415 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4525, 44jaoi 856 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4645com12 32 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4717, 46sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–)))
4847ralrimiv 3146 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜0) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  RePartciccp 46081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-iccp 46082
This theorem is referenced by:  iccpartrn  46098  iccpartiun  46102  iccpartdisj  46105
  Copyright terms: Public domain W3C validator