Theorem iccpartgel 47303

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgel	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzpred 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
7	6	eleq2d 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8		elun 4176	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10		velsn 4664	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12		0p1e1 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
14	13	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
15	14	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
16	11, 15	orbi12d 917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
17	7, 9, 16	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18		iccpartgtprec.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19		0elfz 13681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	1, 18, 20	iccpartxr 47293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22	21	xrleidd 13214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
24	23	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
25	22, 24	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
26	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
27	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29		1nn0 12569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31		elnn0uz 12948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘0))
32	30, 31	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
33		fzss1 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
35	34	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
36	27, 28, 35	iccpartxr 47293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
37	1, 18	iccpartgtl 47300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
38		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
39	38	breq2d 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
40	39	rspccv 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
42	41	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
43	26, 36, 42	xrltled 13212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
44	43	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
45	25, 44	jaoi 856	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
46	45	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
47	17, 46	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
48	47	ralrimiv 3151	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  RePartciccp 47287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-iccp 47288

This theorem is referenced by:  iccpartrn  47304  iccpartiun  47308  iccpartdisj  47311