Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 42246
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11678 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 12007 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 210 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5 fzpred 12682 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2892 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 3980 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4413 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 11480 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 6920 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2892 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 947 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 297 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19 0elfz 12731 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 42236 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 12271 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
2423breq2d 4885 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
2522, 24syl5ibr 238 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2621adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
271adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2818adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 1nn0 11636 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31 elnn0uz 12007 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ‘0))
3230, 31sylib 210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (ℤ‘0))
33 fzss1 12673 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3534sselda 3827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 42236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 42243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
38 fveq2 6433 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
3938breq2d 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4039rspccv 3523 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4241imp 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
4326, 36, 42xrltled 12269 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
4443expcom 404 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4525, 44jaoi 888 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4645com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4717, 46sylbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4847ralrimiv 3174 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  cun 3796  wss 3798  {csn 4397   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  *cxr 10390   < clt 10391  cle 10392  cn 11350  0cn0 11618  cuz 11968  ...cfz 12619  RePartciccp 42230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-iccp 42231
This theorem is referenced by:  iccpartrn  42247  iccpartiun  42251  iccpartdisj  42254
  Copyright terms: Public domain W3C validator