Theorem iccpartgel 47423

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartgel	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzpred 13475	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
7	6	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8		elun 4104	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10		velsn 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12		0p1e1 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
14	13	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
15	14	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
16	11, 15	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
17	7, 9, 16	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18		iccpartgtprec.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19		0elfz 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	1, 18, 20	iccpartxr 47413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
22	21	xrleidd 13054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘0))
24	23	breq2d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
25	22, 24	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
26	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
27	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
28	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29		1nn0 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31		elnn0uz 12780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘0))
32	30, 31	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
33		fzss1 13466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
35	34	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
36	27, 28, 35	iccpartxr 47413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
37	1, 18	iccpartgtl 47420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘))
38		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
39	38	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
40	39	rspccv 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃‘𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖)))
42	41	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘𝑖))
43	26, 36, 42	xrltled 13052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))
44	43	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
45	25, 44	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
46	45	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
47	17, 46	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖)))
48	47	ralrimiv 3120	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  RePartciccp 47407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-iccp 47408

This theorem is referenced by:  iccpartrn  47424  iccpartiun  47428  iccpartdisj  47431