Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 43809
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11948 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 12276 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5 fzpred 12955 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2901 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 4110 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4565 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 11752 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 916 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 308 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19 0elfz 13004 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 43799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 12538 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
2423breq2d 5064 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
2522, 24syl5ibr 249 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2621adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
271adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2818adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 1nn0 11906 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31 elnn0uz 12276 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ‘0))
3230, 31sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (ℤ‘0))
33 fzss1 12946 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3534sselda 3952 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 43799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 43806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
38 fveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
3938breq2d 5064 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4039rspccv 3606 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4241imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
4326, 36, 42xrltled 12536 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
4443expcom 417 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4525, 44jaoi 854 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4645com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4717, 46sylbid 243 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4847ralrimiv 3176 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cun 3917  wss 3919  {csn 4549   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7145  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  0cn0 11890  cuz 12236  ...cfz 12890  RePartciccp 43793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-iccp 43794
This theorem is referenced by:  iccpartrn  43810  iccpartiun  43814  iccpartdisj  43817
  Copyright terms: Public domain W3C validator