Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 46798
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12570 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 12905 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5 fzpred 13589 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2815 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 4149 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4648 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 12372 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 7441 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2815 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 916 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 304 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19 0elfz 13638 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 46788 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 13171 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
2423breq2d 5164 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
2522, 24imbitrrid 245 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2621adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
271adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2818adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 1nn0 12526 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31 elnn0uz 12905 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ‘0))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (ℤ‘0))
33 fzss1 13580 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3534sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 46788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 46795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
38 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
3938breq2d 5164 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4039rspccv 3608 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4241imp 405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
4326, 36, 42xrltled 13169 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
4443expcom 412 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4525, 44jaoi 855 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4645com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4717, 46sylbid 239 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4847ralrimiv 3142 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  cun 3947  wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cn 12250  0cn0 12510  cuz 12860  ...cfz 13524  RePartciccp 46782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-iccp 46783
This theorem is referenced by:  iccpartrn  46799  iccpartiun  46803  iccpartdisj  46806
  Copyright terms: Public domain W3C validator