Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartgel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartgel 47354
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the upper and the lower bound are greater than or equal to the lower bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartgel (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartgel
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12585 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 12921 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5 fzpred 13609 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)))
76eleq2d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀))))
8 elun 4163 . . . . 5 (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)))
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀))))
10 velsn 4647 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {0} ↔ 𝑖 = 0))
12 0p1e1 12386 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
1413oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀))
1514eleq2d 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (1...𝑀)))
1611, 15orbi12d 918 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ {0} ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑀)) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
177, 9, 163bitrd 305 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀))))
18 iccpartgtprec.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
19 0elfz 13661 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
211, 18, 20iccpartxr 47344 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
2221xrleidd 13191 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0))
23 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
2423breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → ((𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖) ↔ (𝑃‘0) ≤ (𝑃‘0)))
2522, 24imbitrrid 246 . . . . 5 (𝑖 = 0 → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
2621adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
271adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
2818adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
31 elnn0uz 12921 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℕ0 ↔ 1 ∈ (ℤ‘0))
3230, 31sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (ℤ‘0))
33 fzss1 13600 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
3534sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3627, 28, 35iccpartxr 47344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
371, 18iccpartgtl 47351 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘))
38 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
3938breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑘) ↔ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4039rspccv 3619 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑘) → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
4241imp 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
4326, 36, 42xrltled 13189 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
4443expcom 413 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4525, 44jaoi 857 . . . 4 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4645com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4717, 46sylbid 240 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖)))
4847ralrimiv 3143 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘0) ≤ (𝑃𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  cuz 12876  ...cfz 13544  RePartciccp 47338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-iccp 47339
This theorem is referenced by:  iccpartrn  47355  iccpartiun  47359  iccpartdisj  47362
  Copyright terms: Public domain W3C validator