Theorem ichexmpl2 47930

Description: Example for interchangeable setvar variables in an arithmetic expression. (Contributed by AV, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ichexmpl2	⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ichexmpl2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2819	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎 ∈ ℂ ↔ 𝑡 ∈ ℂ))
2	1	3anbi1d 1443	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
3		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑2) = (𝑡↑2))
4	3	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)))
5	4	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
6	2, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
7		eleq1w 2819	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℂ ↔ 𝑎 ∈ ℂ))
8	7	3anbi2d 1444	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
9		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
10	9	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)))
11	10	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
12	8, 11	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
13		eleq1w 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ ℂ ↔ 𝑏 ∈ ℂ))
14	13	3anbi1d 1443	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
15		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡↑2) = (𝑏↑2))
16	15	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)))
17	16	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
18	14, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
19		3ancoma 1098	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
20	19	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
21		sqcl 14080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
23		sqcl 14080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
25	22, 24	addcomd 11348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
26	25	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
27	26	pm5.74i 271	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
28	20, 27	bitri 275	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
29	18, 28	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
30	6, 12, 29	ichcircshi 47914	1 ⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041  2c2 12236  ↑cexp 14023  [wich 47905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024  df-ich 47906

This theorem is referenced by: (None)