Theorem ichexmpl2 43708

Description: Example for interchangeable setvar variables in an arithmetic expression. (Contributed by AV, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ichexmpl2	⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ichexmpl2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2894	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎 ∈ ℂ ↔ 𝑡 ∈ ℂ))
2	1	3anbi1d 1435	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
3		oveq1 7156	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑2) = (𝑡↑2))
4	3	oveq1d 7164	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)))
5	4	eqeq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
6	2, 5	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
7		eleq1w 2894	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℂ ↔ 𝑎 ∈ ℂ))
8	7	3anbi2d 1436	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
9		oveq1 7156	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
10	9	oveq2d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)))
11	10	eqeq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
12	8, 11	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
13		eleq1w 2894	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ ℂ ↔ 𝑏 ∈ ℂ))
14	13	3anbi1d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
15		oveq1 7156	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡↑2) = (𝑏↑2))
16	15	oveq1d 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)))
17	16	eqeq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
18	14, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
19		3ancoma 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
20	19	imbi1i 352	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
21		sqcl 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant2 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
23		sqcl 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
25	22, 24	addcomd 10835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
26	25	eqeq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
27	26	pm5.74i 273	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
28	20, 27	bitri 277	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
29	18, 28	syl6bb 289	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
30	6, 12, 29	ichcircshi 43693	1 ⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7149  ℂcc 10528   + caddc 10533  2c2 11686  ↑cexp 13426  [wich 43686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13367  df-exp 13427  df-ich 43687

This theorem is referenced by: (None)