Theorem ichexmpl2 47597

Description: Example for interchangeable setvar variables in an arithmetic expression. (Contributed by AV, 31-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ichexmpl2	⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ichexmpl2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2816	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎 ∈ ℂ ↔ 𝑡 ∈ ℂ))
2	1	3anbi1d 1442	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
3		oveq1 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑2) = (𝑡↑2))
4	3	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)))
5	4	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
6	2, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
7		eleq1w 2816	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℂ ↔ 𝑎 ∈ ℂ))
8	7	3anbi2d 1443	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
9		oveq1 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
10	9	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)))
11	10	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
12	8, 11	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
13		eleq1w 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ ℂ ↔ 𝑏 ∈ ℂ))
14	13	3anbi1d 1442	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
15		oveq1 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑡↑2) = (𝑏↑2))
16	15	oveq1d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)))
17	16	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
18	14, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
19		3ancoma 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
20	19	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
21		sqcl 14029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
23		sqcl 14029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
25	22, 24	addcomd 11324	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
26	25	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
27	26	pm5.74i 271	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
28	20, 27	bitri 275	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
29	18, 28	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
30	6, 12, 29	ichcircshi 47581	1 ⊢ [𝑎⇄𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013   + caddc 11018  2c2 12189  ↑cexp 13972  [wich 47572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-seq 13913  df-exp 13973  df-ich 47573

This theorem is referenced by: (None)