Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ichexmpl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ichexmpl2 44377
 Description: Example for interchangeable setvar variables in an arithmetic expression. (Contributed by AV, 31-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
ichexmpl2 [𝑎𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem ichexmpl2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2834 . . . 4 (𝑎 = 𝑡 → (𝑎 ∈ ℂ ↔ 𝑡 ∈ ℂ))
213anbi1d 1437 . . 3 (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
3 oveq1 7157 . . . . 5 (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑2) = (𝑡↑2))
43oveq1d 7165 . . . 4 (𝑎 = 𝑡 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)))
54eqeq1d 2760 . . 3 (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
62, 5imbi12d 348 . 2 (𝑎 = 𝑡 → (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
7 eleq1w 2834 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 ∈ ℂ ↔ 𝑎 ∈ ℂ))
873anbi2d 1438 . . 3 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
9 oveq1 7157 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏↑2) = (𝑎↑2))
109oveq2d 7166 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)))
1110eqeq1d 2760 . . 3 (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
128, 11imbi12d 348 . 2 (𝑏 = 𝑎 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
13 eleq1w 2834 . . . . 5 (𝑡 = 𝑏 → (𝑡 ∈ ℂ ↔ 𝑏 ∈ ℂ))
14133anbi1d 1437 . . . 4 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)))
15 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑏 → (𝑡↑2) = (𝑏↑2))
1615oveq1d 7165 . . . . 5 (𝑡 = 𝑏 → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)))
1716eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
1814, 17imbi12d 348 . . 3 (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2))))
19 3ancoma 1095 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
2019imbi1i 353 . . . 4 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)))
21 sqcl 13534 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℂ → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
22213ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
23 sqcl 13534 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
2522, 24addcomd 10880 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
2625eqeq1d 2760 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
2726pm5.74i 274 . . . 4 (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
2820, 27bitri 278 . . 3 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2)))
2918, 28bitrdi 290 . 2 (𝑡 = 𝑏 → (((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑡↑2) + (𝑎↑2)) = (𝑐↑2)) ↔ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))))
306, 12, 29ichcircshi 44361 1 [𝑎𝑏]((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = (𝑐↑2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   + caddc 10578  2c2 11729  ↑cexp 13479  [wich 44352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-seq 13419  df-exp 13480  df-ich 44353 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator