MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcl 14089
Description: Closure of square. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
sqcl (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)

Proof of Theorem sqcl
StepHypRef Expression
1 sqval 14086 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
2 mulcl 11198 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
32anidms 565 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
41, 3eqeltrd 2831 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112   ยท cmul 11119  2c2 12273  โ†‘cexp 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-seq 13973  df-exp 14034
This theorem is referenced by:  sqcld  14115  sqcli  14151  subsq  14180  binom2sub  14189  binom3  14193  zesq  14195  discr  14209  mulsubdivbinom2  14228  muldivbinom2  14229  bpoly2  16007  bpoly3  16008  bpoly4  16009  fsumcube  16010  ef4p  16062  efi4p  16086  pythagtriplem1  16755  iaa  26072  tanarg  26361  asinlem  26607  asinlem2  26608  asinlem3a  26609  asinlem3  26610  asinf  26611  atandm4  26618  asinneg  26625  efiasin  26627  sinasin  26628  asinbnd  26638  cosasin  26643  bndatandm  26668  atans2  26670  addsq2reu  27177  addsqrexnreu  27179  logdivsum  27270  log2sumbnd  27281  sinccvglem  34953  dvasin  36877  dvacos  36878  areacirclem1  36881  lhe4.4ex1a  43392  ichexmpl2  46438
  Copyright terms: Public domain W3C validator