Theorem irrednzr 33237

Description: A ring with an irreducible element cannot be the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrednzr.1	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irrednzr.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
irrednzr.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
irrednzr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem irrednzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrednzr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		irrednzr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
3		irrednzr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20441	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	3, 7	irredn0 20440	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
10	6, 9	eldifsnd 4792	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	7, 4	ringelnzr 20540	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
12	1, 10, 11	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  Irredcir 20373  NzRingcnzr 20529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-irred 20376  df-nzr 20530

This theorem is referenced by: (None)