Theorem irrednzr 33432

Description: A ring with an irreducible element cannot be the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrednzr.1	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irrednzr.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
irrednzr.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
irrednzr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem irrednzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrednzr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		irrednzr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
3		irrednzr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20474	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	3, 7	irredn0 20473	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
9	1, 2, 8	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
10	6, 9	eldifsnd 4748	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	7, 4	ringelnzr 20574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
12	1, 10, 11	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4583  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  0_gc0g 17469  Ringcrg 20284  Irredcir 20406  NzRingcnzr 20563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-0g 17471  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-irred 20409  df-nzr 20564

This theorem is referenced by: (None)