Theorem irrednzr 33639

Description: A ring with an irreducible element cannot be the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrednzr.1	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irrednzr.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
irrednzr.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
irrednzr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem irrednzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irrednzr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		irrednzr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
3		irrednzr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20557	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	3, 7	irredn0 20556	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
9	1, 2, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
10	6, 9	eldifsnd 4757	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
11	7, 4	ringelnzr 20676	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
12	1, 10, 11	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6541  Basecbs 17296  0_gc0g 17519  Ringcrg 20364  Irredcir 20489  NzRingcnzr 20664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-irred 20492  df-nzr 20665

This theorem is used by: (None)