MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringelnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringelnzr 20582
Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringelnzr.z 0 = (0g𝑅)
ringelnzr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringelnzr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ringelnzr
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eldifsni 4729 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
32adantl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋0 )
4 eldifi 4067 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
54adantl 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋𝐵)
6 ringelnzr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 ringelnzr.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
86, 7ring0cl 19853 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
98adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0𝐵)
10 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10, 7ring1eq0 19874 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
121, 5, 9, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
1312necon3d 2962 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋0 → (1r𝑅) ≠ 0 ))
143, 13mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r𝑅) ≠ 0 )
1510, 7isnzr 20575 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
161, 14, 15sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2941  cdif 3889  {csn 4565  cfv 6458  Basecbs 16957  0gc0g 17195  1rcur 19782  Ringcrg 19828  NzRingcnzr 20573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-0g 17197  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-nzr 20574
This theorem is referenced by:  frlmlbs  21049  ply1nz  25331  qsidomlem2  31674  lindsadd  35814
  Copyright terms: Public domain W3C validator