Theorem ringelnzr 20676

Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringelnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringelnzr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringelnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ringelnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifsni 4760	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ 0 )
4		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringelnzr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		ringelnzr.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	ring0cl 20400	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	6, 10, 7	ring1eq0 20432	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = 0 → 𝑋 = 0 ))
12	1, 5, 9, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r‘𝑅) = 0 → 𝑋 = 0 ))
13	12	necon3d 2981	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
14	3, 13	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
15	10, 7	isnzr 20666	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
16	1, 14, 15	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6541  Basecbs 17296  0_gc0g 17519  1_rcur 20312  Ringcrg 20364  NzRingcnzr 20664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-nzr 20665

This theorem is used by:  qsidomlem2  21536  frlmlbs  22002  ply1nz  26335  irrednzr  33639  lindsadd  38326