Theorem ringelnzr 20801

Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringelnzr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringelnzr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringelnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ringelnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifsni 4753	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ 0 )
4		eldifi 4070	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ringelnzr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		ringelnzr.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	ring0cl 20523	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0 ∈ 𝐵)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
11	6, 10, 7	ring1eq0 20556	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = 0 → 𝑋 = 0 ))
12	1, 5, 9, 11	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r‘𝑅) = 0 → 𝑋 = 0 ))
13	12	necon3d 2980	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 ≠ 0 → (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
14	3, 13	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
15	10, 7	isnzr 20791	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
16	1, 14, 15	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  NzRingcnzr 20789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-nzr 20790

This theorem is used by:  qsidomlem2  21664  frlmlbs  22130  ply1nz  26467  irrednzr  33878  lindsadd  38727