MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringelnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringelnzr 20015
Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringelnzr.z 0 = (0g𝑅)
ringelnzr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringelnzr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ringelnzr
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eldifsni 4695 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
32adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋0 )
4 eldifi 4079 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
54adantl 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋𝐵)
6 ringelnzr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 ringelnzr.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
86, 7ring0cl 19298 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0𝐵)
10 eqid 2821 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10, 7ring1eq0 19319 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
121, 5, 9, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
1312necon3d 3028 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋0 → (1r𝑅) ≠ 0 ))
143, 13mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r𝑅) ≠ 0 )
1510, 7isnzr 20008 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
161, 14, 15sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  cdif 3907  {csn 4540  cfv 6328  Basecbs 16462  0gc0g 16692  1rcur 19230  Ringcrg 19276  NzRingcnzr 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-nzr 20007
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20917  ply1nz  24701  qsidomlem2  30977  lindsadd  34936
  Copyright terms: Public domain W3C validator