MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredn0 20229
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredn0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Proof of Theorem irredn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2ring0cl 20077 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5 eldif 3957 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)))
7 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
81, 7, 2ringlz 20100 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
11 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦))
1211eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
1413eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3623 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
1716ex 413 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
1817orrd 861 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2732 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
21 eqid 2732 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 20226 . . . . 5 ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 256 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
2524adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
26 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
27 eleq1 2821 . . . 4 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
2826, 27syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 0 ∈ 𝐼))
2928necon3bd 2954 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  Irredcir 20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-irred 20165
This theorem is referenced by:  prmirred  21035
  Copyright terms: Public domain W3C validator