Theorem irredn0 20451

Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredn0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem irredn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		irredn0.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	anim1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5		eldif 3914	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
6	4, 5	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	1, 7, 2	ringlz 20322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 8	mpdan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
11		oveq1 7399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
12	11	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
13		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
14	13	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
15	12, 14	rspc2ev 3594	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
16	6, 6, 10, 15	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
17	16	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
18	17	orrd 874	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
19		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		irredn0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
22	1, 19, 20, 21, 7	isnirred 20448	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
24	18, 23	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0 ∈ 𝐼)
25	24	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ¬ 0 ∈ 𝐼)
26		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
27		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
28	26, 27	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋 = 0 → 0 ∈ 𝐼))
29	28	necon3bd 2970	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (¬ 0 ∈ 𝐼 → 𝑋 ≠ 0 ))
30	25, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262  Unitcui 20383  Irredcir 20384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-irred 20387

This theorem is referenced by:  prmirred  21506  irrednzr  33392  rprmirredb  33689  2sqr3minply  34038  cos9thpiminply  34046