MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredn0 20322
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredn0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Proof of Theorem irredn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2ring0cl 20163 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5 eldif 3953 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)))
7 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
81, 7, 2ringlz 20189 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
11 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦))
1211eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 7412 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
1413eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3619 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
1716ex 412 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
1817orrd 860 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2726 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
21 eqid 2726 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 20319 . . . . 5 ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 257 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
2524adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
26 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
27 eleq1 2815 . . . 4 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
2826, 27syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 0 ∈ 𝐼))
2928necon3bd 2948 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  0gc0g 17391  Ringcrg 20135  Unitcui 20254  Irredcir 20255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-irred 20258
This theorem is referenced by:  prmirred  21356
  Copyright terms: Public domain W3C validator