MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem irredn0 20369
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
irredn0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Proof of Theorem irredn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2ring0cl 20210 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43anim1i 613 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
5 eldif 3959 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ↔ ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
64, 5sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)))
7 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
81, 7, 2ringlz 20236 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
109adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
11 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦))
1211eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
1413eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3624 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ 0 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )
1716ex 411 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
1817orrd 861 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2728 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irredβ€˜π‘…)
21 eqid 2728 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…)) = ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 20366 . . . . 5 ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))βˆƒπ‘¦ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– (Unitβ€˜π‘…))(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 256 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
2524adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝐼)
26 simpr 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
27 eleq1 2817 . . . 4 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
2826, 27syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 0 ∈ 𝐼))
2928necon3bd 2951 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ 0 ∈ 𝐼 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Ringcrg 20180  Unitcui 20301  Irredcir 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-irred 20305
This theorem is referenced by:  prmirred  21407  irrednzr  32968  rprmirredb  33271
  Copyright terms: Public domain W3C validator