MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredn0 19131
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )

Proof of Theorem irredn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2793 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18997 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
43anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5 eldif 3864 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
64, 5sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7 eqid 2793 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
81, 7, 2ringlz 19015 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 683 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
11 oveq1 7014 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
1211eqeq1d 2795 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 7015 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
1413eqeq1d 2795 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3569 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1362 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
1716ex 413 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
1817orrd 858 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2793 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21 eqid 2793 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 19128 . . . . 5 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 258 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0𝐼)
2524adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → ¬ 0𝐼)
26 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
27 eleq1 2868 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐼0𝐼))
2826, 27syl5ibcom 246 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋 = 00𝐼))
2928necon3bd 2996 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (¬ 0𝐼𝑋0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wrex 3104  cdif 3851  cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  .rcmulr 16383  0gc0g 16530  Ringcrg 18975  Unitcui 19067  Irredcir 19068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-plusg 16395  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-mgp 18918  df-ring 18977  df-irred 19071
This theorem is referenced by:  prmirred  20312
  Copyright terms: Public domain W3C validator