Theorem irredn0 20343

Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredn0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem irredn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		irredn0.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5		eldif 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
6	4, 5	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	1, 7, 2	ringlz 20213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 8	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
11		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
12	11	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
13		oveq2 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
14	13	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
15	12, 14	rspc2ev 3586	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
16	6, 6, 10, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
18	17	orrd 863	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
19		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		irredn0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
22	1, 19, 20, 21, 7	isnirred 20340	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
24	18, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0 ∈ 𝐼)
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ¬ 0 ∈ 𝐼)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
27		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
28	26, 27	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋 = 0 → 0 ∈ 𝐼))
29	28	necon3bd 2943	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (¬ 0 ∈ 𝐼 → 𝑋 ≠ 0 ))
30	25, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  Ringcrg 20153  Unitcui 20275  Irredcir 20276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-irred 20279

This theorem is referenced by:  prmirred  21413  irrednzr  33224  rprmirredb  33504  2sqr3minply  33814  cos9thpiminply  33822