Theorem irredn0 20394

Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irredn0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem irredn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		irredn0.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5		eldif 3900	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
6	4, 5	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	1, 7, 2	ringlz 20265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	3, 8	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
11		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
13		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
15	12, 14	rspc2ev 3578	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
16	6, 6, 10, 15	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
18	17	orrd 864	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 ))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20		irredn0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
22	1, 19, 20, 21, 7	isnirred 20391	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
23	3, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 0 )))
24	18, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0 ∈ 𝐼)
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ¬ 0 ∈ 𝐼)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
27		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ 0 ∈ 𝐼))
28	26, 27	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑋 = 0 → 0 ∈ 𝐼))
29	28	necon3bd 2947	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (¬ 0 ∈ 𝐼 → 𝑋 ≠ 0 ))
30	25, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  Irredcir 20327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-irred 20330

This theorem is referenced by:  prmirred  21464  irrednzr  33326  rprmirredb  33607  2sqr3minply  33940  cos9thpiminply  33948