MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredn0 18970
Description: The additive identity is not irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredn0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredn0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )

Proof of Theorem irredn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 irredn0.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18836 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
43anim1i 608 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
5 eldif 3742 . . . . . . . 8 ( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ↔ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)))
64, 5sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
7 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
81, 7, 2ringlz 18854 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
93, 8mpdan 678 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 )
11 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅)𝑦))
1211eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ))
13 oveq2 6850 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ( 0 (.r𝑅)𝑦) = ( 0 (.r𝑅) 0 ))
1413eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (( 0 (.r𝑅)𝑦) = 0 ↔ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ))
1512, 14rspc2ev 3476 . . . . . . 7 (( 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r𝑅) 0 ) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
166, 6, 10, 15syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )
1716ex 401 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ (Unit‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
1817orrd 889 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 ))
19 eqid 2765 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20 irredn0.i . . . . . 6 𝐼 = (Irred‘𝑅)
21 eqid 2765 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
221, 19, 20, 21, 7isnirred 18967 . . . . 5 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
233, 22syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝐼 ↔ ( 0 ∈ (Unit‘𝑅) ∨ ∃𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∃𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) = 0 )))
2418, 23mpbird 248 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ¬ 0𝐼)
2524adantr 472 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → ¬ 0𝐼)
26 simpr 477 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋𝐼)
27 eleq1 2832 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝑋𝐼0𝐼))
2826, 27syl5ibcom 236 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋 = 00𝐼))
2928necon3bd 2951 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (¬ 0𝐼𝑋0 ))
3025, 29mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cdif 3729  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  .rcmulr 16217  0gc0g 16368  Ringcrg 18814  Unitcui 18906  Irredcir 18907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mgp 18757  df-ring 18816  df-irred 18910
This theorem is referenced by:  prmirred  20116
  Copyright terms: Public domain W3C validator