MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isposix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isposix 18219
Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isposix.a 𝐡 ∈ V
isposix.b ≀ ∈ V
isposix.k 𝐾 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩}
isposix.1 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
isposix.2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
isposix.3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
Assertion
Ref Expression
isposix 𝐾 ∈ Poset
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯, ≀ ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposix
StepHypRef Expression
1 isposix.k . . 3 𝐾 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩}
2 prex 5390 . . 3 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(leβ€˜ndx), ≀ ⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2830 . 2 𝐾 ∈ V
4 isposix.a . . 3 𝐡 ∈ V
5 basendxltplendx 17255 . . . 4 (Baseβ€˜ndx) < (leβ€˜ndx)
6 plendxnn 17254 . . . 4 (leβ€˜ndx) ∈ β„•
71, 5, 62strbas1 17115 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
84, 7ax-mp 5 . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 isposix.b . . 3 ≀ ∈ V
10 pleid 17253 . . . 4 le = Slot (leβ€˜ndx)
111, 5, 6, 102strop1 17116 . . 3 ( ≀ ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
129, 11ax-mp 5 . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
13 isposix.1 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
14 isposix.2 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
15 isposix.3 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
163, 8, 12, 13, 14, 15isposi 18218 1 𝐾 ∈ Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ple 17158  df-poset 18207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator