Theorem isposix 17958

Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isposix.b	⊢ ≤ ∈ V
isposix.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
isposix.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
isposix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
isposix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
isposix	⊢ 𝐾 ∈ Poset

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposix.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
2		prex 5350	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ V
4		isposix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		basendxltplendx 17003	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
6		plendxnn 17002	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
7	1, 5, 6	2strbas1 16865	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	4, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		isposix.b	. . 3 ⊢ ≤ ∈ V
10		pleid 17001	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
11	1, 5, 6, 10	2strop1 16866	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		isposix.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
14		isposix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
15		isposix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	3, 8, 12, 13, 14, 15	isposi 17957	1 ⊢ 𝐾 ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ple 16908  df-poset 17946

This theorem is referenced by: (None)