Theorem isposix 18288

Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isposix.b	⊢ ≤ ∈ V
isposix.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
isposix.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
isposix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
isposix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
isposix	⊢ 𝐾 ∈ Poset

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposix.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
2		prex 5425	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2823	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ V
4		isposix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		basendxltplendx 17321	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
6		plendxnn 17320	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
7	1, 5, 6	2strbas1 17178	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	4, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		isposix.b	. . 3 ⊢ ≤ ∈ V
10		pleid 17319	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
11	1, 5, 6, 10	2strop1 17179	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		isposix.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
14		isposix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
15		isposix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	3, 8, 12, 13, 14, 15	isposi 18287	1 ⊢ 𝐾 ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {cpr 4625  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ple 17224  df-poset 18276

This theorem is referenced by: (None)