Theorem isposix 18383

Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isposix.b	⊢ ≤ ∈ V
isposix.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
isposix.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
isposix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
isposix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
isposix	⊢ 𝐾 ∈ Poset

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposix.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
2		prex 5443	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ V
4		isposix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		basendxltplendx 17415	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
6		plendxnn 17414	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
7	1, 5, 6	2strbas1 17272	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	4, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		isposix.b	. . 3 ⊢ ≤ ∈ V
10		pleid 17413	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
11	1, 5, 6, 10	2strop1 17273	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		isposix.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
14		isposix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
15		isposix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	3, 8, 12, 13, 14, 15	isposi 18382	1 ⊢ 𝐾 ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {cpr 4633  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-poset 18371

This theorem is referenced by: (None)