Theorem isposix 18322

Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposix.a	⊢ 𝐵 ∈ V
isposix.b	⊢ ≤ ∈ V
isposix.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
isposix.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
isposix.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
isposix.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))

Assertion

Ref	Expression
isposix	⊢ 𝐾 ∈ Poset

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isposix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposix.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩}
2		prex 5436	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ V
4		isposix.a	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		basendxltplendx 17355	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < (le‘ndx)
6		plendxnn 17354	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ∈ ℕ
7	1, 5, 6	2strbas1 17212	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 = (Base‘𝐾))
8	4, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		isposix.b	. . 3 ⊢ ≤ ∈ V
10		pleid 17353	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
11	1, 5, 6, 10	2strop1 17213	. . 3 ⊢ ( ≤ ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		isposix.1	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑥)
14		isposix.2	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
15		isposix.3	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	3, 8, 12, 13, 14, 15	isposi 18321	1 ⊢ 𝐾 ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  {cpr 4632  ⟨cop 4636   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  ndxcnx 17167  Basecbs 17185  lecple 17245  Posetcpo 18304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ple 17258  df-poset 18310

This theorem is referenced by: (None)