MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2strop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2strop1 16196
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. Version of 2strop 16193 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
2str1.e 𝐸 = Slot 𝑁
Assertion
Ref Expression
2strop1 ( +𝑉+ = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2strop1
StepHypRef Expression
1 2str1.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2 2str1.b . . 3 (Base‘ndx) < 𝑁
3 2str1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1 16194 . 2 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁
5 2str1.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
65, 3ndxid 16090 . 2 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7 snsspr2 4481 . . 3 {⟨𝑁, + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
85, 3ndxarg 16089 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
98opeq1i 4542 . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, +
109sneqi 4327 . . 3 {⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} = {⟨𝑁, + ⟩}
117, 10, 13sstr4i 3793 . 2 {⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ⊆ 𝐺
124, 6, 11strfv 16114 1 ( +𝑉+ = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316  {cpr 4318  cop 4322   class class class wbr 4786  cfv 6031   < clt 10276  cn 11222  ndxcnx 16061  Slot cslot 16063  Basecbs 16064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator