Theorem isrngim2 20399

Description: An isomorphism of non-unital rings is a bijective homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrngim2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)))

Proof of Theorem isrngim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrngim 20391	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅))))
2		rnghmf1o.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rnghmf1o.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rnghmf1o 20398	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)))
5	4	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)))
7	6	pm5.32d 575	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)))
8	1, 7	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ^◡ccnv 5681  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   RngHom crnghm 20380   RngIso crngim 20381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mgm 18607  df-mgmhm 18659  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-rnghm 20382  df-rngim 20383

This theorem is referenced by:  rngimf1o  20400  rngimrnghm  20401  rimisrngim  20444  rngcinv  20577  rngqiprngim  21201  rngcinvALTV  47416