MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngim 21196
Description: 𝐹 is an isomorphism of non-unital rings. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngim (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼   π‘₯, 1   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem rngqiprngim
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
2 rng2idlring.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 rng2idlring.j . . 3 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 rng2idlring.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
5 rng2idlring.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 rng2idlring.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
7 rng2idlring.1 . . 3 1 = (1rβ€˜π½)
8 rngqiprngim.g . . 3 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9 rngqiprngim.q . . 3 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10 rngqiprngim.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
11 rngqiprngim.p . . 3 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
12 rngqiprngim.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngho 21195 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimf1 21192 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–1-1β†’(𝐢 Γ— 𝐼))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12rngqiprngimfo 21193 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼))
16 df-f1o 6549 . . . 4 (𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼) ↔ (𝐹:𝐡–1-1β†’(𝐢 Γ— 𝐼) ∧ 𝐹:𝐡–ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼)))
1714, 15, 16sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11rngqipbas 21187 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (𝐢 Γ— 𝐼))
1918f1oeq3d 6830 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐢 Γ— 𝐼)))
2017, 19mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘ƒ))
2111ovexi 7449 . . 3 𝑃 ∈ V
22 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
235, 22isrngim2 20394 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘ƒ))))
241, 21, 23sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐡–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘ƒ))))
2513, 20, 24mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  [cec 8719  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  .rcmulr 17231   /s cqus 17484   Γ—s cxps 17485   ~QG cqg 19079  Rngcrng 20094  1rcur 20123  Ringcrg 20175   RngHom crnghm 20375   RngIso crngim 20376  2Idealc2idl 21145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-imas 17487  df-qus 17488  df-xps 17489  df-mgm 18597  df-mgmhm 18649  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-rnghm 20377  df-rngim 20378  df-subrng 20485  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-2idl 21146
This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21199  rngqiprngu  21210
  Copyright terms: Public domain W3C validator