Theorem rngqiprngim 21157

Description: 𝐹 is an isomorphism of non-unital rings. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12		rngqiprngim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngho 21156	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimf1 21153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→(𝐶 × 𝐼))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimfo 21154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))
16		df-f1o 6544	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵–1-1→(𝐶 × 𝐼) ∧ 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rngqipbas 21148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))
19	18	f1oeq3d 6824	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼)))
20	17, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))
21	11	ovexi 7439	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
22		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	5, 22	isrngim2 20355	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))))
24	1, 21, 23	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))))
25	13, 20, 24	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  [cec 8703  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  ._rcmulr 17207   /_s cqus 17460   ×_s cxps 17461   ~_QG cqg 19049  Rngcrng 20057  1_rcur 20086  Ringcrg 20138   RngHom crnghm 20336   RngIso crngim 20337  2Idealc2idl 21106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rnghm 20338  df-rngim 20339  df-subrng 20446  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-2idl 21107

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21160  rngqiprngu  21171