Theorem rngqiprngim 21403

Description: 𝐹 is an isomorphism of non-unital rings. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥, ∼   𝑥, 1   𝑥, ·   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngim.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngim.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
11		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
12		rngqiprngim.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngho 21402	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimf1 21399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→(𝐶 × 𝐼))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	rngqiprngimfo 21400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼))
16		df-f1o 6532	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼) ↔ (𝐹:𝐵–1-1→(𝐶 × 𝐼) ∧ 𝐹:𝐵–onto→(𝐶 × 𝐼)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	rngqipbas 21394	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))
19	18	f1oeq3d 6807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐶 × 𝐼)))
20	17, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))
21	11	ovexi 7434	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	5, 22	isrngim2 20523	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))))
24	1, 21, 23	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑃) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(Base‘𝑃))))
25	13, 20, 24	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  –1-1→wf1 6522  –onto→wfo 6523  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  [cec 8680  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  ._rcmulr 17299   /_s cqus 17547   ×_s cxps 17548   ~_QG cqg 19176  Rngcrng 20218  1_rcur 20251  Ringcrg 20303   RngHom crnghm 20504   RngIso crngim 20505  2Idealc2idl 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-imas 17550  df-qus 17551  df-xps 17552  df-mgm 18686  df-mgmhm 18738  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-nsg 19178  df-eqg 19179  df-ghm 19272  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-rnghm 20506  df-rngim 20507  df-subrng 20619  df-lss 21019  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-lidl 21298  df-2idl 21348

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21406  rngqiprngu  21417