Theorem rimisrngim 20466

Description: Each unital ring isomorphism is a non-unital ring isomorphism. (Contributed by AV, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rimisrngim	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆))

Proof of Theorem rimisrngim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isrim 20460	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4		rhmisrnghm 20448	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆))
5	4	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
6	3, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
7		rimrcl 20450	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
8	1, 2	isrngim2 20421	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))))
10	6, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229   RngHom crnghm 20402   RngIso crngim 20403   RingHom crh 20437   RingIso crs 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-mgmhm 18674  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-ghm 19200  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rnghm 20404  df-rngim 20405  df-rhm 20440  df-rim 20441

This theorem is referenced by: (None)