Theorem issrng 19621

Description: The predicate "is a star ring." (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
issrng.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrng	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Proof of Theorem issrng

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-srng 19617	. . 3 ⊢ *-Ring = {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)}
2	1	eleq2i 2904	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)})
3		rhmrcl1 19471	. . . . 5 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	elexd 3514	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ V)
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ (( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ) → 𝑅 ∈ V)
6		fvexd 6685	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) ∈ V)
7		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (*rf‘𝑟) → 𝑖 = (*rf‘𝑟))
8		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = (*rf‘𝑅))
9		issrng.i	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
10	8, 9	syl6eqr 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = ∗ )
11	7, 10	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑖 = ∗ )
12		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
13	12	fveq2d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		issrng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	syl6eqr 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	12, 15	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
17	11, 16	eleq12d 2907	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ↔ ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
18	11	cnveqd 5746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ◡𝑖 = ◡ ∗ )
19	11, 18	eqeq12d 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 = ◡𝑖 ↔ ∗ = ◡ ∗ ))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
21	6, 20	sbcied 3814	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
22	5, 21	elab3 3674	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)} ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))
23	2, 22	bitri 277	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2799  Vcvv 3494  [wsbc 3772  ^◡ccnv 5554  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Ringcrg 19297  opp_rcoppr 19372   RingHom crh 19464  *_rfcstf 19614  *-Ringcsr 19615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mhm 17956  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19467  df-srng 19617

This theorem is referenced by:  srngrhm  19622  srngcnv  19624  issrngd  19632