Theorem issrng 20760

Description: The predicate "is a star ring". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
issrng.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrng	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Proof of Theorem issrng

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-srng 20756	. . 3 ⊢ *-Ring = {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)}
2	1	eleq2i 2823	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)})
3		rhmrcl1 20395	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) ∈ V)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (*rf‘𝑟) → 𝑖 = (*rf‘𝑟))
7		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = (*rf‘𝑅))
8		issrng.i	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
9	7, 8	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = ∗ )
10	6, 9	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑖 = ∗ )
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
12	11	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
13		issrng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
14	12, 13	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
15	11, 14	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
16	10, 15	eleq12d 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ↔ ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
17	10	cnveqd 5815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ◡𝑖 = ◡ ∗ )
18	10, 17	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 = ◡𝑖 ↔ ∗ = ◡ ∗ ))
19	16, 18	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
20	5, 19	sbcied 3785	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
21	4, 20	elab3 3642	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)} ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))
22	2, 21	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  Vcvv 3436  [wsbc 3741  ^◡ccnv 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Ringcrg 20152  opp_rcoppr 20255   RingHom crh 20388  *_rfcstf 20753  *-Ringcsr 20754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mhm 18691  df-ghm 19126  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-rhm 20391  df-srng 20756

This theorem is referenced by:  srngrhm  20761  srngcnv  20763  issrngd  20771