Theorem issrng 20691

Description: The predicate "is a star ring". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
issrng.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrng	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Proof of Theorem issrng

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-srng 20687	. . 3 ⊢ *-Ring = {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)}
2	1	eleq2i 2819	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)})
3		rhmrcl1 20376	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		fvexd 6899	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) ∈ V)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (*rf‘𝑟) → 𝑖 = (*rf‘𝑟))
7		fveq2 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = (*rf‘𝑅))
8		issrng.i	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
9	7, 8	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = ∗ )
10	6, 9	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑖 = ∗ )
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
12	11	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
13		issrng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
14	12, 13	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
15	11, 14	oveq12d 7422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
16	10, 15	eleq12d 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ↔ ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
17	10	cnveqd 5868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ◡𝑖 = ◡ ∗ )
18	10, 17	eqeq12d 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 = ◡𝑖 ↔ ∗ = ◡ ∗ ))
19	16, 18	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
20	5, 19	sbcied 3817	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
21	4, 20	elab3 3671	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)} ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))
22	2, 21	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  Vcvv 3468  [wsbc 3772  ^◡ccnv 5668  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Ringcrg 20136  opp_rcoppr 20233   RingHom crh 20369  *_rfcstf 20684  *-Ringcsr 20685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mhm 18711  df-ghm 19137  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-rhm 20372  df-srng 20687

This theorem is referenced by:  srngrhm  20692  srngcnv  20694  issrngd  20702