MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issrng 20737
Description: The predicate "is a star ring". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrng.o 𝑂 = (oppr𝑅)
issrng.i = (*rf𝑅)
Assertion
Ref Expression
issrng (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))

Proof of Theorem issrng
Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-srng 20733 . . 3 *-Ring = {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)}
21eleq2i 2821 . 2 (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)})
3 rhmrcl1 20422 . . . 4 ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 479 . . 3 (( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ) → 𝑅 ∈ Ring)
5 fvexd 6917 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) ∈ V)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = (*rf𝑟) → 𝑖 = (*rf𝑟))
7 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) = (*rf𝑅))
8 issrng.i . . . . . . . 8 = (*rf𝑅)
97, 8eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) = )
106, 9sylan9eqr 2790 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑖 = )
11 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
1211fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (oppr𝑟) = (oppr𝑅))
13 issrng.o . . . . . . . 8 𝑂 = (oppr𝑅)
1412, 13eqtr4di 2786 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (oppr𝑟) = 𝑂)
1511, 14oveq12d 7444 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
1610, 15eleq12d 2823 . . . . 5 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ↔ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
1710cnveqd 5882 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑖 = )
1810, 17eqeq12d 2744 . . . . 5 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑖 = 𝑖 = ))
1916, 18anbi12d 630 . . . 4 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖) ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = )))
205, 19sbcied 3824 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖) ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = )))
214, 20elab3 3677 . 2 (𝑅 ∈ {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)} ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))
222, 21bitri 274 1 (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  Vcvv 3473  [wsbc 3778  ccnv 5681  cfv 6553  (class class class)co 7426  Ringcrg 20180  opprcoppr 20279   RingHom crh 20415  *rfcstf 20730  *-Ringcsr 20731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mhm 18747  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-rhm 20418  df-srng 20733
This theorem is referenced by:  srngrhm  20738  srngcnv  20740  issrngd  20748
  Copyright terms: Public domain W3C validator