Theorem issrng 21152

Description: The predicate "is a star ring". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
issrng.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrng	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Proof of Theorem issrng

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-srng 21148	. . 3 ⊢ *-Ring = {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)}
2	1	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)})
3		rhmrcl1 20758	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		fvexd 6931	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) ∈ V)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (*rf‘𝑟) → 𝑖 = (*rf‘𝑟))
7		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = (*rf‘𝑅))
8		issrng.i	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = ∗ )
10	6, 9	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑖 = ∗ )
11		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
12	11	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
13		issrng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
14	12, 13	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
15	11, 14	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
16	10, 15	eleq12d 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ↔ ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
17	10	cnveqd 5865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ◡𝑖 = ◡ ∗ )
18	10, 17	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 = ◡𝑖 ↔ ∗ = ◡ ∗ ))
19	16, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
20	5, 19	sbcied 3785	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
21	4, 20	elab3 3643	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)} ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))
22	2, 21	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454  [wsbc 3742  ^◡ccnv 5657  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Ringcrg 20510  opp_rcoppr 20617   RingHom crh 20750  *_rfcstf 21145  *-Ringcsr 21146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mhm 19028  df-ghm 19478  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-rhm 20753  df-srng 21148

This theorem is used by:  srngrhm  21153  srngcnv  21155  issrngd  21163