Theorem issrng 21094

Description: The predicate "is a star ring". (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrng.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
issrng.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issrng	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

Proof of Theorem issrng

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-srng 21090	. . 3 ⊢ *-Ring = {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)}
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)})
3		rhmrcl1 20700	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		fvexd 6898	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) ∈ V)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (*rf‘𝑟) → 𝑖 = (*rf‘𝑟))
7		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = (*rf‘𝑅))
8		issrng.i	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
9	7, 8	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (*rf‘𝑟) = ∗ )
10	6, 9	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑖 = ∗ )
11		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
12	11	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
13		issrng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
14	12, 13	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
15	11, 14	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
16	10, 15	eleq12d 2855	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ↔ ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
17	10	cnveqd 5853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ◡𝑖 = ◡ ∗ )
18	10, 17	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → (𝑖 = ◡𝑖 ↔ ∗ = ◡ ∗ ))
19	16, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = (*rf‘𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
20	5, 19	sbcied 3782	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖) ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ )))
21	4, 20	elab3 3640	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∣ [(*rf‘𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr‘𝑟)) ∧ 𝑖 = ◡𝑖)} ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))
22	2, 21	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ ∗ = ◡ ∗ ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451  [wsbc 3739  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Ringcrg 20452  opp_rcoppr 20559   RingHom crh 20692  *_rfcstf 21087  *-Ringcsr 21088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mhm 18971  df-ghm 19421  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-rhm 20695  df-srng 21090

This theorem is used by:  srngrhm  21095  srngcnv  21097  issrngd  21105