MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrgd 21041
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrgd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝐼 β†Ύs 𝐷))
issubrgd.z (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΌ))
issubrgd.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΌ))
issubrgd.ss (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΌ))
issubrgd.zcl (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
issubrgd.o (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΌ))
issubrgd.t (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΌ))
issubrgd.ocl (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrgd (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, 0   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯, + ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯, Β· ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd
StepHypRef Expression
1 issubrgd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝐼 β†Ύs 𝐷))
2 issubrgd.z . . 3 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΌ))
3 issubrgd.p . . 3 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΌ))
4 issubrgd.ss . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΌ))
5 issubrgd.zcl . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
6 issubrgd.acl . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrgd.ncl . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
8 issubrgd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 20139 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring β†’ 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 19065 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ))
12 issubrgd.o . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΌ))
13 issubrgd.ocl . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷)
15 issubrgd.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΌ))
1615oveqdr 7440 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦))
17 issubrgd.tcl . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1119 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
22 eqid 2731 . . . 4 (1rβ€˜πΌ) = (1rβ€˜πΌ)
23 eqid 2731 . . . 4 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
2421, 22, 23issubrg2 20490 . . 3 (𝐼 ∈ Ring β†’ (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ) ∧ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ) ∧ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1341 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  SubGrpcsubg 19043  1rcur 20082  Ringcrg 20134  SubRingcsubrg 20465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrng 20442  df-subrg 20467
This theorem is referenced by:  rngunsnply  42381
  Copyright terms: Public domain W3C validator