Theorem issubrgd 21183

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubrgd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubrgd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubrgd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
issubrgd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
issubrgd.ocl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubrgd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubrgd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubrgd.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubrgd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubrgd.acl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubrgd.ncl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubrgd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)
9		ringgrp 20214	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 19113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12		issubrgd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
13		issubrgd.ocl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐷)
15		issubrgd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
16	15	oveqdr 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝐼)𝑦))
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18	17	3expb 1127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
19	16, 18	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
20	19	ralrimivva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
23		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
24	21, 22, 23	issubrg2 20568	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1350	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  SubGrpcsubg 19091  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  SubRingcsubrg 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrng 20522  df-subrg 20546

This theorem is referenced by:  rngunsnply  43629