Theorem issubrgd 21258

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubrgd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubrgd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubrgd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
issubrgd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
issubrgd.ocl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubrgd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubrgd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubrgd.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubrgd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubrgd.acl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubrgd.ncl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubrgd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)
9		ringgrp 20290	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 19186	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12		issubrgd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
13		issubrgd.ocl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐷)
15		issubrgd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
16	15	oveqdr 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝐼)𝑦))
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18	17	3expb 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
19	16, 18	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
20	19	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
23		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
24	21, 22, 23	issubrg2 20644	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
25	8, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1357	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289  0_gc0g 17470  Grpcgrp 18977  inv_gcminusg 18978  SubGrpcsubg 19164  1_rcur 20233  Ringcrg 20285  SubRingcsubrg 20621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-subrng 20598  df-subrg 20622

This theorem is referenced by:  rngunsnply  43751