MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrgd 21214
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrgd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubrgd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubrgd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubrgd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl (𝜑0𝐷)
issubrgd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o (𝜑1 = (1r𝐼))
issubrgd.t (𝜑· = (.r𝐼))
issubrgd.ocl (𝜑1𝐷)
issubrgd.tcl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g (𝜑𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrgd (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd
StepHypRef Expression
1 issubrgd.s . . 3 (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
2 issubrgd.z . . 3 (𝜑0 = (0g𝐼))
3 issubrgd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝐼))
4 issubrgd.ss . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5 issubrgd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
6 issubrgd.acl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrgd.ncl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8 issubrgd.g . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 20256 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 19173 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12 issubrgd.o . . 3 (𝜑1 = (1r𝐼))
13 issubrgd.ocl . . 3 (𝜑1𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (1r𝐼) ∈ 𝐷)
15 issubrgd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝐼))
1615oveqdr 7459 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝐼)𝑦))
17 issubrgd.tcl . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22 eqid 2735 . . . 4 (1r𝐼) = (1r𝐼)
23 eqid 2735 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2421, 22, 23issubrg2 20609 . . 3 (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1341 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  1rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587
This theorem is referenced by:  rngunsnply  43158
  Copyright terms: Public domain W3C validator