MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrgd 21197
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrgd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubrgd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubrgd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubrgd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl (𝜑0𝐷)
issubrgd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o (𝜑1 = (1r𝐼))
issubrgd.t (𝜑· = (.r𝐼))
issubrgd.ocl (𝜑1𝐷)
issubrgd.tcl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g (𝜑𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrgd (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd
StepHypRef Expression
1 issubrgd.s . . 3 (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
2 issubrgd.z . . 3 (𝜑0 = (0g𝐼))
3 issubrgd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝐼))
4 issubrgd.ss . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5 issubrgd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
6 issubrgd.acl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrgd.ncl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8 issubrgd.g . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 20236 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 19161 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12 issubrgd.o . . 3 (𝜑1 = (1r𝐼))
13 issubrgd.ocl . . 3 (𝜑1𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2841 . 2 (𝜑 → (1r𝐼) ∈ 𝐷)
15 issubrgd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝐼))
1615oveqdr 7460 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝐼)𝑦))
17 issubrgd.tcl . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1120 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2841 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3201 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22 eqid 2736 . . . 4 (1r𝐼) = (1r𝐼)
23 eqid 2736 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2421, 22, 23issubrg2 20593 . . 3 (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1342 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  SubGrpcsubg 19139  1rcur 20179  Ringcrg 20231  SubRingcsubrg 20570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrng 20547  df-subrg 20571
This theorem is referenced by:  rngunsnply  43186
  Copyright terms: Public domain W3C validator