MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrgd 20810
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrgd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝐼 β†Ύs 𝐷))
issubrgd.z (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΌ))
issubrgd.p (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΌ))
issubrgd.ss (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΌ))
issubrgd.zcl (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
issubrgd.o (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΌ))
issubrgd.t (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΌ))
issubrgd.ocl (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrgd (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, 0   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯, + ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯, Β· ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd
StepHypRef Expression
1 issubrgd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝐼 β†Ύs 𝐷))
2 issubrgd.z . . 3 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΌ))
3 issubrgd.p . . 3 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜πΌ))
4 issubrgd.ss . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΌ))
5 issubrgd.zcl . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
6 issubrgd.acl . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrgd.ncl . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
8 issubrgd.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 20060 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring β†’ 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 19021 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ))
12 issubrgd.o . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜πΌ))
13 issubrgd.ocl . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷)
15 issubrgd.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜πΌ))
1615oveqdr 7436 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦))
17 issubrgd.tcl . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1120 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
22 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜πΌ) = (1rβ€˜πΌ)
23 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
2421, 22, 23issubrg2 20338 . . 3 (𝐼 ∈ Ring β†’ (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ) ∧ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜πΌ) ∧ (1rβ€˜πΌ) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  SubGrpcsubg 18999  1rcur 20003  Ringcrg 20055  SubRingcsubrg 20314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316
This theorem is referenced by:  rngunsnply  41905
  Copyright terms: Public domain W3C validator