Theorem issubrgd 21411

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubrgd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubrgd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubrgd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
issubrgd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
issubrgd.ocl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hints:   1 (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubrgd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubrgd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubrgd.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubrgd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubrgd.acl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubrgd.ncl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubrgd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)
9		ringgrp 20411	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 19300	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12		issubrgd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
13		issubrgd.ocl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐷)
15		issubrgd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
16	15	oveqdr 7437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝐼)𝑦))
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18	17	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
19	16, 18	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
20	19	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
24	21, 22, 23	issubrg2 20791	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
25	8, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  +_gcplusg 17375  ._rcmulr 17376  0_gc0g 17557  Grpcgrp 19091  inv_gcminusg 19092  SubGrpcsubg 19277  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  SubRingcsubrg 20768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-subg 19280  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-subrng 20745  df-subrg 20769

This theorem is used by:  rngunsnply  44108