MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmndex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmndex1 18196
Description: The base set 𝐵 of the constructed monoid 𝑆 is not a submonoid of the monoid 𝑀 of endofunctions on set 0, although 𝑀 ∈ Mnd and 𝑆 ∈ Mnd and 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) hold. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
nsmndex1 𝐵 ∉ (SubMnd‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem nsmndex1
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1n0mnd 18195 . . . . . 6 (0g𝑀) ∉ 𝐵
87neli 3040 . . . . 5 ¬ (0g𝑀) ∈ 𝐵
98intnan 490 . . . 4 ¬ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵)
109intnan 490 . . 3 ¬ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵))
11 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
12 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1311, 12issubmndb 18088 . . 3 (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ 𝐵)))
1410, 13mtbir 326 . 2 ¬ 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀)
1514nelir 3041 1 𝐵 ∉ (SubMnd‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wnel 3038  cun 3841  wss 3843  {csn 4516   ciun 4881  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  cn 11718  0cn0 11978  ..^cfzo 13126   mod cmo 13330  Basecbs 16588  s cress 16589  0gc0g 16818  Mndcmnd 18029  SubMndcsubmnd 18073  EndoFMndcefmnd 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-mod 13331  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-tset 16689  df-0g 16820  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-efmnd 18152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator