MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmndex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmndex1 18872
Description: The base set 𝐡 of the constructed monoid 𝑆 is not a submonoid of the monoid 𝑀 of endofunctions on set β„•0, although 𝑀 ∈ Mnd and 𝑆 ∈ Mnd and 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) hold. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
nsmndex1 𝐡 βˆ‰ (SubMndβ€˜π‘€)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem nsmndex1
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
6 smndex1mgm.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1n0mnd 18871 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
87neli 3045 . . . . 5 Β¬ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡
98intnan 485 . . . 4 Β¬ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
109intnan 485 . . 3 Β¬ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡))
11 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
12 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
1311, 12issubmndb 18764 . . 3 (𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 β†Ύs 𝐡) ∈ Mnd) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)))
1410, 13mtbir 322 . 2 Β¬ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)
1514nelir 3046 1 𝐡 βˆ‰ (SubMndβ€˜π‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3043   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βˆͺ ciun 5000   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  ..^cfzo 13667   mod cmo 13874  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  0gc0g 17428  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  EndoFMndcefmnd 18827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-efmnd 18828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator