Theorem nsmndex1 18835

Description: The base set 𝐵 of the constructed monoid 𝑆 is not a submonoid of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ₀, although 𝑀 ∈ Mnd and 𝑆 ∈ Mnd and 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) hold. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nsmndex1	⊢ 𝐵 ∉ (SubMnd‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem nsmndex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1n0mnd 18834	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵
8	7	neli 3042	. . . . 5 ⊢ ¬ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵
9	8	intnan 486	. . . 4 ⊢ ¬ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
10	9	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵))
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
12		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
13	11, 12	issubmndb 18727	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)))
14	10, 13	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀)
15	14	nelir 3043	1 ⊢ 𝐵 ∉ (SubMnd‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3040   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ∪ ciun 4990   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ..^cfzo 13630   mod cmo 13837  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179  0_gc0g 17391  Mndcmnd 18664  SubMndcsubmnd 18709  EndoFMndcefmnd 18790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-tset 17222  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-efmnd 18791

This theorem is referenced by: (None)