Theorem knoppcnlem7 35679

Description: Lemma for knoppcn 35684. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem7	⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11204	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		knoppcnlem7.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 12872	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
8		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
9	8	fveq1d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
10	9	cbvmptv 5262	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)))
12		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
13	12	mpteq2dv 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
15	11, 14	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
16		elfznn0 13599	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	1	mptex 7228	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
20	7, 15, 17, 19	fvmptd 7006	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
21	2, 5, 20	seqof 14030	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7671  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12477  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489  ⌊cfl 13760  seqcseq 13971  ↑cexp 14032  abscabs 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972

This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  35680  knoppcnlem9  35681  knoppcnlem11  35683  knoppndvlem4  35695