Theorem knoppcnlem7 37088

Description: Lemma for knoppcn 37093. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem7	⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11186	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		knoppcnlem7.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 12898	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
8		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
9	8	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
10	9	cbvmptv 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)))
12		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
13	12	mpteq2dv 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
15	11, 14	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
16		elfznn0 13644	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	1	mptex 7221	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
20	7, 15, 17, 19	fvmptd 6997	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
21	2, 5, 20	seqof 14091	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ⌊cfl 13819  seqcseq 14033  ↑cexp 14093  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034

This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  37089  knoppcnlem9  37090  knoppcnlem11  37092  knoppndvlem4  37104