Theorem knoppcnlem7 37032

Description: Lemma for knoppcn 37037. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem7	⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11190	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		knoppcnlem7.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 12902	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
8		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
9	8	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
10	9	cbvmptv 5214	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)))
12		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
13	12	mpteq2dv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
15	11, 14	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
16		elfznn0 13647	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	1	mptex 7221	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
20	7, 15, 17, 19	fvmptd 6997	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
21	2, 5, 20	seqof 14094	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ⌊cfl 13822  seqcseq 14036  ↑cexp 14096  abscabs 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037

This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  37033  knoppcnlem9  37034  knoppcnlem11  37036  knoppndvlem4  37048