Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem7 33912
Description: Lemma for knoppcn 33917. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem7 (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10617 . . 3 ℝ ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 knoppcnlem7.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 elnn0uz 12271 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
53, 4sylib 221 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 eqid 2822 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
8 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
98fveq1d 6654 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑚))
109cbvmptv 5145 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚))
1110a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)))
12 fveq2 6652 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
1312mpteq2dv 5138 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1413adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1511, 14eqtrd 2857 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
16 elfznn0 12995 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181mptex 6968 . . . 4 (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
207, 15, 17, 19fvmptd 6757 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
212, 5, 20seqof 13423 1 (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  f cof 7392  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12885  cfl 13155  seqcseq 13364  cexp 13425  abscabs 14584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365
This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  33913  knoppcnlem9  33914  knoppcnlem11  33916  knoppndvlem4  33928
  Copyright terms: Public domain W3C validator