Theorem knoppcnlem7 37345

Description: Lemma for knoppcn 37350. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem7	⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑛)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑛)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11284	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
3		knoppcnlem7.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		elnn0uz 12999	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
8		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
9	8	fveq1d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
10	9	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)))
12		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
13	12	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
15	11, 14	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
16		elfznn0 13747	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18	1	mptex 7227	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
20	7, 15, 17, 19	fvmptd 6999	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
21	2, 5, 20	seqof 14195	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ⌊cfl 13923  seqcseq 14137  ↑cexp 14197  abscabs 15394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-seq 14138

This theorem is used by:  knoppcnlem8  37346  knoppcnlem9  37347  knoppcnlem11  37349  knoppndvlem4  37361