Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem8 33450
Description: Lemma for knoppcn 33454. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem8.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem8.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem8.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem8 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem8
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem8.t . . . . 5 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem8.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem8.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem8.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81, 2, 4, 6, 7knoppcnlem7 33449 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)))
9 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 12133 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
119, 10syl6eleq 2895 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
124ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
136ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
15 elfznn0 12854 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝑘) → 𝑎 ∈ ℕ0)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
171, 2, 12, 13, 14, 16knoppcnlem3 33445 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑎) ∈ ℝ)
1817recnd 10522 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑎) ∈ ℂ)
19 addcl 10472 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
2111, 18, 20seqcl 13244 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘) ∈ ℂ)
2221fmpttd 6749 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
23 cnex 10471 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
24 reex 10481 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2523, 24pm3.2i 471 . . . . . 6 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
26 elmapg 8276 . . . . . 6 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
2822, 27sylibr 235 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ))
298, 28eqeltrd 2885 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ))
3029fmpttd 6749 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
31 0z 11846 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
32 seqfn 13235 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
3410fneq2i 6328 . . . . 5 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
3533, 34mpbir 232 . . . 4 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
36 dffn5 6599 . . . 4 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
3735, 36mpbi 231 . . 3 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
3837feq1i 6380 . 2 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
3930, 38sylibr 235 1 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  Vcvv 3440  cmpt 5047   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑓 cof 7272  𝑚 cmap 8263  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  ...cfz 12746  cfl 13014  seqcseq 13223  cexp 13283  abscabs 14431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  33451  knoppndvlem4  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator