Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem8 35965
Description: Lemma for knoppcn 35969. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem8.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem8.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem8.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem8 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem8
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem8.t . . . . 5 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem8.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem8.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem8.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81, 2, 4, 6, 7knoppcnlem7 35964 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)))
9 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 nn0uz 12888 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtrdi 2838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
124ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
136ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
15 elfznn0 13620 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝑘) → 𝑎 ∈ ℕ0)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
171, 2, 12, 13, 14, 16knoppcnlem3 35960 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑎) ∈ ℝ)
1817recnd 11266 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑎) ∈ ℂ)
19 addcl 11214 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
2111, 18, 20seqcl 14013 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘) ∈ ℂ)
2221fmpttd 7119 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
23 cnex 11213 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
24 reex 11223 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2523, 24pm3.2i 470 . . . . . 6 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
26 elmapg 8851 . . . . . 6 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
2822, 27sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ))
298, 28eqeltrd 2828 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m ℝ))
3029fmpttd 7119 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
31 0z 12593 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
32 seqfn 14004 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
3331, 32ax-mp 5 . . . . 5 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
3410fneq2i 6646 . . . . 5 (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
3533, 34mpbir 230 . . . 4 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
36 dffn5 6951 . . . 4 (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
3735, 36mpbi 229 . . 3 seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
3837feq1i 6707 . 2 (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
3930, 38sylibr 233 1 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cmpt 5225   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7677  m cmap 8838  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  cmin 11468   / cdiv 11895  cn 12236  2c2 12291  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  ...cfz 13510  cfl 13781  seqcseq 13992  cexp 14052  abscabs 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  35966  knoppndvlem4  35980
  Copyright terms: Public domain W3C validator