Theorem knoppcnlem8 37198

Description: Lemma for knoppcn 37202. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem8.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem8.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem8.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem8	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑧)   𝐶(𝑥, 𝑧, 𝑚)   𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑚)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑧, 𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem8

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem8.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem8.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem8.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcnlem8.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 4, 6, 7	knoppcnlem7 37197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)))
9		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0uz 12926	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
12	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
15		elfznn0 13676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (0...𝑘) → 𝑎 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 12, 13, 14, 16	knoppcnlem3 37193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑎) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑎) ∈ ℂ)
19		addcl 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℂ)
21	11, 18, 20	seqcl 14087	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	fmpttd 7109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
23		cnex 11206	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
24		reex 11216	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
25	23, 24	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
26		elmapg 8839	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)):ℝ⟶ℂ)
28	22, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) ∈ (ℂ ↑m ℝ))
29	8, 28	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℂ ↑m ℝ))
30	29	fmpttd 7109	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
31		0z 12627	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
32		seqfn 14078	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
34	10	fneq2i 6631	. . . . 5 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
35	33, 34	mpbir 234	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
36		dffn5 6937	. . . 4 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
37	35, 36	mpbi 233	. . 3 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
38	37	feq1i 6694	. 2 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
39	30, 38	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   ↑_m cmap 8827  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  ⌊cfl 13852  seqcseq 14066  ↑cexp 14126  abscabs 15322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324

This theorem is used by:  knoppcnlem9  37199  knoppndvlem4  37213