MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leagne3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leagne3 26799
Description: Deduce inequality from the less-than angle relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isleag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a (𝜑𝐴𝑃)
isleag.b (𝜑𝐵𝑃)
isleag.c (𝜑𝐶𝑃)
isleag.d (𝜑𝐷𝑃)
isleag.e (𝜑𝐸𝑃)
isleag.f (𝜑𝐹𝑃)
leagne.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Assertion
Ref Expression
leagne3 (𝜑𝐷𝐸)

Proof of Theorem leagne3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isleag.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2738 . . . 4 (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3 eqid 2738 . . . 4 (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4 isleag.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 isleag.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐴𝑃)
8 isleag.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐵𝑃)
10 isleag.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐶𝑃)
12 isleag.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1312ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐷𝑃)
14 isleag.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
1514ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐸𝑃)
16 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝑥𝑃)
17 simprr 773 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)
181, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17cgrane3 26762 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐸𝐷)
1918necomd 2989 . 2 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐷𝐸)
20 leagne.1 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21 isleag.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
221, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 21isleag 26795 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
2320, 22mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
2419, 23r19.29a 3199 1 (𝜑𝐷𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054   class class class wbr 5030  cfv 6339  ⟨“cs3 14295  Basecbs 16588  TarskiGcstrkg 26378  Itvcitv 26384  hlGchlg 26548  cgrAccgra 26755  inAcinag 26783  cleag 26784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-hash 13785  df-word 13958  df-concat 14014  df-s1 14041  df-s2 14301  df-s3 14302  df-hlg 26549  df-cgra 26756  df-leag 26794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator