Theorem lsmlub 18428

Description: The least upper bound property of subgroup sum. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmlub	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lsmlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1174	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmub1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	2	lsmless12 18426	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
4	3	ex 403	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
5	1, 1, 4	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
6	2	lsmidm 18427	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
7	6	3ad2ant3 1171	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
8	7	sseq2d 3857	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
9	5, 8	sylibd 231	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
10	2	lsmub1 18421	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
11	10	3adant3 1168	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
12		sstr2 3833	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
14	2	lsmub2 18422	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
15	14	3adant3 1168	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
16		sstr2 3833	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
18	13, 17	jcad 510	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)))
19	9, 18	impbid 204	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3797  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  SubGrpcsubg 17938  LSSumclsm 18399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-subg 17941  df-lsm 18401

This theorem is referenced by:  lsmss1  18429  lsmss2  18431  lsmmod  18438  lsmcntz  18442  dprd2da  18794  dmdprdsplit2lem  18797  dprdsplit  18800  pgpfac1lem1  18826  lsmsp  19444  lspprabs  19453  lsmcv  19500  lrelat  35088  lsatexch  35117  lsatcvatlem  35123  lsatcvat  35124  dihjustlem  37290  dihord1  37292  dihord5apre  37336  lclkrlem2f  37586  lclkrlem2v  37602  lclkrslem2  37612  lcfrlem25  37641  lcfrlem35  37651  mapdlsm  37738  lspindp5  37844