Theorem lsmlub 19725

Description: The least upper bound property of subgroup sum. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmlub	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lsmlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmub1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	2	lsmless12 19723	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
4	3	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
5	1, 1, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
6	2	lsmidm 19724	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
7	6	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
8	7	sseq2d 3971	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
9	5, 8	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
10	2	lsmub1 19718	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
11	10	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
12		sstr2 3946	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
14	2	lsmub2 19719	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
15	14	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
16		sstr2 3946	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
18	13, 17	jcad 521	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)))
19	9, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  SubGrpcsubg 19177  LSSumclsm 19695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-subg 19180  df-lsm 19697

This theorem is referenced by:  lsmss1  19726  lsmss2  19728  lsmmod  19736  lsmcntz  19740  dprd2da  20105  dmdprdsplit2lem  20108  dprdsplit  20111  pgpfac1lem1  20137  lsmsp  21176  lspprabs  21185  lsmcv  21234  lrelat  39650  lsatexch  39679  lsatcvatlem  39685  lsatcvat  39686  dihjustlem  41852  dihord1  41854  dihord5apre  41898  lclkrlem2f  42148  lclkrlem2v  42164  lclkrslem2  42174  lcfrlem25  42203  lcfrlem35  42213  mapdlsm  42300  lspindp5  42406