Theorem lsmlub 19593

Description: The least upper bound property of subgroup sum. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmlub	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lsmlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmub1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	2	lsmless12 19591	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
4	3	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
5	1, 1, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈)))
6	2	lsmidm 19592	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)
8	7	sseq2d 3966	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
9	5, 8	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))
10	2	lsmub1 19586	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
11	10	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
12		sstr2 3940	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑆 ⊆ 𝑈))
14	2	lsmub2 19587	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
16		sstr2 3940	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈))
18	13, 17	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈 → (𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈)))
19	9, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  SubGrpcsubg 19050  LSSumclsm 19563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-lsm 19565

This theorem is referenced by:  lsmss1  19594  lsmss2  19596  lsmmod  19604  lsmcntz  19608  dprd2da  19973  dmdprdsplit2lem  19976  dprdsplit  19979  pgpfac1lem1  20005  lsmsp  21038  lspprabs  21047  lsmcv  21096  lrelat  39270  lsatexch  39299  lsatcvatlem  39305  lsatcvat  39306  dihjustlem  41472  dihord1  41474  dihord5apre  41518  lclkrlem2f  41768  lclkrlem2v  41784  lclkrslem2  41794  lcfrlem25  41823  lcfrlem35  41833  mapdlsm  41920  lspindp5  42026