MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem2 25252
Description: Lemma for fta 25258. There exists some 𝑟 such that 𝐹 has magnitude greater than 𝐹(0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem2.5 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
ftalem2.6 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
Assertion
Ref Expression
ftalem2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐴   𝑁,𝑟,𝑠,𝑥   𝐹,𝑟,𝑠,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠   𝑇,𝑟,𝑥   𝑈,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51coef3 24425 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
74nnnn0d 11702 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7ffvelrnd 6624 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
94nnne0d 11425 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102, 1dgreq0 24458 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
11 fveq2 6446 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
12 dgr0 24455 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
1311, 12syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
142, 13syl5eq 2826 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1510, 14syl6bir 246 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2990 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
189, 17mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
198, 18absrpcld 14595 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12193 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
21 2fveq3 6451 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑛)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
2221cbvsumv 14834 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘))
2322oveq1i 6932 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
241, 2, 3, 4, 20, 23ftalem1 25251 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
25 ftalem2.5 . . . . . 6 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
26 ftalem2.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
27 plyf 24391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
29 0cn 10368 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
30 ffvelrn 6621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3128, 29, 30sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3231abscld 14583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
3332, 20rerpdivcld 12212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) ∈ ℝ)
3426, 33syl5eqel 2863 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3534adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
36 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
37 1re 10376 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ifcl 4351 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4035, 39ifcld 4352 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) ∈ ℝ)
4125, 40syl5eqel 2863 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ)
42 0red 10380 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
43 1red 10377 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 10897 . . . . . . 7 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 1)
46 max1 12328 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
4737, 36, 46sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
48 max1 12328 . . . . . . . . 9 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
4939, 35, 48syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5049, 25syl6breqr 4928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑈)
5143, 39, 41, 47, 50letrd 10533 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑈)
5242, 43, 41, 45, 51ltletrd 10536 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 𝑈)
5341, 52elrpd 12178 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
54 max2 12330 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5537, 36, 54sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5636, 39, 41, 55, 50letrd 10533 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠𝑈)
5756adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠𝑈)
5836adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℝ)
5941adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ ℝ)
60 abscl 14425 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
6160adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
62 lelttr 10467 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6358, 59, 61, 62syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6457, 63mpand 685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6564imim1d 82 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))))
6628ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
67 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6866, 67ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
698ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
707ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7167, 70expcld 13327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
7269, 71mulcld 10397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
7368, 72subcld 10734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
7473abscld 14583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) ∈ ℝ)
7572abscld 14583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℝ)
7675rehalfcld 11629 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
7774, 76, 75ltsub2d 10985 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
7869, 71absmuld 14601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))))
7967, 70absexpd 14599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝑥𝑁)) = ((abs‘𝑥)↑𝑁))
8079oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8178, 80eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8281oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2))
8369abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
8483recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8561adantrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8685, 70reexpcld 13344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
8786recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
88 2cnd 11453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
89 2ne0 11486 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
9184, 87, 88, 90div23d 11188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9282, 91eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9392breq2d 4898 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
9475recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
95942halvesd 11628 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))
9695oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)))
9776recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℂ)
9897, 97pncand 10735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9996, 98eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
10099breq1d 4896 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
10177, 93, 1003bitr3d 301 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
10272, 68subcld 10734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
10372, 102abs2difd 14604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) ≤ (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))))
10472, 68abssubd 14600 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))
105104oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))))
10672, 68nncand 10739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
107106fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
108103, 105, 1073brtr3d 4917 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
10975, 74resubcld 10803 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ)
11068abscld 14583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
111 ltletr 10468 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11276, 109, 110, 111syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
113108, 112mpan2d 684 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
114101, 113sylbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11532ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
11620ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
117116rpred 12181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ)
118117, 85remulcld 10407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
11992, 76eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12035adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℝ)
12141adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℝ)
122 max2 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
12339, 35, 122syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
124123, 25syl6breqr 4928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇𝑈)
125124adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇𝑈)
126 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 < (abs‘𝑥))
127120, 121, 85, 125, 126lelttrd 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 < (abs‘𝑥))
12826, 127syl5eqbrr 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥))
129115, 85, 116ltdivmuld 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥))))
130128, 129mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)))
13185recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
132131exp1d 13322 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) = (abs‘𝑥))
133 1red 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
13451adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑈)
135133, 121, 85, 134, 126lelttrd 10534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 < (abs‘𝑥))
136133, 85, 135ltled 10524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ (abs‘𝑥))
1374ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
138 nnuz 12029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
139137, 138syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
14085, 136, 139leexp2ad 13362 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
141132, 140eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
14285, 86, 116lemul2d 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁) ↔ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
143141, 142mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
144115, 118, 119, 130, 143ltletrd 10536 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
145144, 92breqtrrd 4914 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
146 lttr 10453 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
147115, 76, 110, 146syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
148145, 147mpand 685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
149114, 148syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
150149expr 450 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
151150a2d 29 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15265, 151syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
153152ralimdva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
154 breq1 4889 . . . . 5 (𝑟 = 𝑈 → (𝑟 < (abs‘𝑥) ↔ 𝑈 < (abs‘𝑥)))
155154rspceaimv 3519 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
15653, 153, 155syl6an 674 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
157156rexlimdva 3213 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15824, 157mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  ifcif 4307   class class class wbr 4886  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cuz 11992  +crp 12137  ...cfz 12643  cexp 13178  abscabs 14381  Σcsu 14824  0𝑝c0p 23873  Polycply 24377  coeffccoe 24379  degcdgr 24380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-0p 23874  df-ply 24381  df-coe 24383  df-dgr 24384
This theorem is referenced by:  fta  25258
  Copyright terms: Public domain W3C validator