MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem2 27132
Description: Lemma for fta 27138. There exists some 𝑟 such that 𝐹 has magnitude greater than 𝐹(0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem2.5 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
ftalem2.6 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
Assertion
Ref Expression
ftalem2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐴   𝑁,𝑟,𝑠,𝑥   𝐹,𝑟,𝑠,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠   𝑇,𝑟,𝑥   𝑈,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51coef3 26286 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
74nnnn0d 12585 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
94nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102, 1dgreq0 26320 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
11 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
12 dgr0 26317 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
1311, 12eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
142, 13eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1510, 14biimtrrdi 254 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
189, 17mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
198, 18absrpcld 15484 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 13087 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
21 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑛)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
2221cbvsumv 15729 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘))
2322oveq1i 7441 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
241, 2, 3, 4, 20, 23ftalem1 27131 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
25 ftalem2.5 . . . . . 6 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
26 ftalem2.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
27 plyf 26252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
29 0cn 11251 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
30 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3128, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3231abscld 15472 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
3332, 20rerpdivcld 13106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) ∈ ℝ)
3426, 33eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
36 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
37 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ifcl 4576 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4035, 39ifcld 4577 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) ∈ ℝ)
4125, 40eqeltrid 2843 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ)
42 0red 11262 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
43 1red 11260 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 11783 . . . . . . 7 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 1)
46 max1 13224 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
4737, 36, 46sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
48 max1 13224 . . . . . . . . 9 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
4939, 35, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5049, 25breqtrrdi 5190 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑈)
5143, 39, 41, 47, 50letrd 11416 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑈)
5242, 43, 41, 45, 51ltletrd 11419 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 𝑈)
5341, 52elrpd 13072 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
54 max2 13226 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5537, 36, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5636, 39, 41, 55, 50letrd 11416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠𝑈)
5756adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠𝑈)
58 abscl 15314 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
59 lelttr 11349 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6036, 41, 58, 59syl2an3an 1421 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6157, 60mpand 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6261imim1d 82 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))))
6328ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
64 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6563, 64ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
668ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
677ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6864, 67expcld 14183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6966, 68mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
7065, 69subcld 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
7170abscld 15472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) ∈ ℝ)
7269abscld 15472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
7471, 73, 72ltsub2d 11871 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
7566, 68absmuld 15490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))))
7664, 67absexpd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝑥𝑁)) = ((abs‘𝑥)↑𝑁))
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7875, 77eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7978oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2))
8066abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
8180recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8258ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8382, 67reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
8483recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
85 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
86 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
8881, 84, 85, 87div23d 12078 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8979, 88eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9089breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
9172recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
92912halvesd 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))
9392oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)))
9473recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℂ)
9594, 94pncand 11619 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9693, 95eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9796breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9874, 90, 973bitr3d 309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9969, 65subcld 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
10069, 99abs2difd 15493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) ≤ (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))))
10169, 65abssubd 15489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))
102101oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))))
10369, 65nncand 11623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
104103fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
105100, 102, 1043brtr3d 5179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
10672, 71resubcld 11689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ)
10765abscld 15472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
108 ltletr 11351 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10973, 106, 107, 108syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
110105, 109mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11198, 110sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11232ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
11320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
114113rpred 13075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ)
115114, 82remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
11689, 73eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ℝ)
11735adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℝ)
119 max2 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
12039, 35, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
121120, 25breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇𝑈)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇𝑈)
123 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 < (abs‘𝑥))
124117, 118, 82, 122, 123lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 < (abs‘𝑥))
12526, 124eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥))
126112, 82, 113ltdivmuld 13126 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥))))
127125, 126mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)))
12882recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
129128exp1d 14178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) = (abs‘𝑥))
130 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
13151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑈)
132130, 118, 82, 131, 123lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 < (abs‘𝑥))
133130, 82, 132ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ (abs‘𝑥))
1344ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
135 nnuz 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
136134, 135eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13782, 133, 136leexp2ad 14290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
138129, 137eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
13982, 83, 113lemul2d 13119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁) ↔ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
140138, 139mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
141112, 115, 116, 127, 140ltletrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
142141, 89breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
143 lttr 11335 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
144112, 73, 107, 143syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
145142, 144mpand 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
146111, 145syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
147146expr 456 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
148147a2d 29 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
14962, 148syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
150149ralimdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
151 breq1 5151 . . . . 5 (𝑟 = 𝑈 → (𝑟 < (abs‘𝑥) ↔ 𝑈 < (abs‘𝑥)))
152151rspceaimv 3628 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
15353, 150, 152syl6an 684 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
154153rexlimdva 3153 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15524, 154mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  cexp 14099  abscabs 15270  Σcsu 15719  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  fta  27138
  Copyright terms: Public domain W3C validator