Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem2 25758
 Description: Lemma for fta 25764. There exists some 𝑟 such that 𝐹 has magnitude greater than 𝐹(0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem2.5 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
ftalem2.6 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
Assertion
Ref Expression
ftalem2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐴   𝑁,𝑟,𝑠,𝑥   𝐹,𝑟,𝑠,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠   𝑇,𝑟,𝑥   𝑈,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51coef3 24928 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
74nnnn0d 11994 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7ffvelrnd 6843 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
94nnne0d 11724 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102, 1dgreq0 24961 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
11 fveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
12 dgr0 24958 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
1311, 12eqtrdi 2809 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
142, 13syl5eq 2805 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1510, 14syl6bir 257 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2972 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
189, 17mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
198, 18absrpcld 14856 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12484 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
21 2fveq3 6663 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑛)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
2221cbvsumv 15101 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘))
2322oveq1i 7160 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
241, 2, 3, 4, 20, 23ftalem1 25757 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
25 ftalem2.5 . . . . . 6 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
26 ftalem2.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
27 plyf 24894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
29 0cn 10671 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
30 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3128, 29, 30sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3231abscld 14844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
3332, 20rerpdivcld 12503 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) ∈ ℝ)
3426, 33eqeltrid 2856 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3534adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
36 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
37 1re 10679 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ifcl 4465 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4035, 39ifcld 4466 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) ∈ ℝ)
4125, 40eqeltrid 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ)
42 0red 10682 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
43 1red 10680 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 11200 . . . . . . 7 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 1)
46 max1 12619 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
4737, 36, 46sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
48 max1 12619 . . . . . . . . 9 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
4939, 35, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5049, 25breqtrrdi 5074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑈)
5143, 39, 41, 47, 50letrd 10835 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑈)
5242, 43, 41, 45, 51ltletrd 10838 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 𝑈)
5341, 52elrpd 12469 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
54 max2 12621 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5537, 36, 54sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5636, 39, 41, 55, 50letrd 10835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠𝑈)
5756adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠𝑈)
58 abscl 14686 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
59 lelttr 10769 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6036, 41, 58, 59syl2an3an 1419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6157, 60mpand 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6261imim1d 82 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))))
6328ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
64 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6563, 64ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
668ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
677ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6864, 67expcld 13560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6966, 68mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
7065, 69subcld 11035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
7170abscld 14844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) ∈ ℝ)
7269abscld 14844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 11921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
7471, 73, 72ltsub2d 11288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
7566, 68absmuld 14862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))))
7664, 67absexpd 14860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝑥𝑁)) = ((abs‘𝑥)↑𝑁))
7776oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7875, 77eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7978oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2))
8066abscld 14844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
8180recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8258ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8382, 67reexpcld 13577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
8483recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
85 2cnd 11752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
86 2ne0 11778 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
8881, 84, 85, 87div23d 11491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8979, 88eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9089breq2d 5044 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
9172recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
92912halvesd 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))
9392oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)))
9473recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℂ)
9594, 94pncand 11036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9693, 95eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9796breq1d 5042 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9874, 90, 973bitr3d 312 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9969, 65subcld 11035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
10069, 99abs2difd 14865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) ≤ (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))))
10169, 65abssubd 14861 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))
102101oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))))
10369, 65nncand 11040 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
104103fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
105100, 102, 1043brtr3d 5063 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
10672, 71resubcld 11106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ)
10765abscld 14844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
108 ltletr 10770 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10973, 106, 107, 108syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
110105, 109mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11198, 110sylbid 243 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11232ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
11320ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
114113rpred 12472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ)
115114, 82remulcld 10709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
11689, 73eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ℝ)
11735adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11841adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℝ)
119 max2 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
12039, 35, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
121120, 25breqtrrdi 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇𝑈)
122121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇𝑈)
123 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 < (abs‘𝑥))
124117, 118, 82, 122, 123lelttrd 10836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 < (abs‘𝑥))
12526, 124eqbrtrrid 5068 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥))
126112, 82, 113ltdivmuld 12523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥))))
127125, 126mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)))
12882recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
129128exp1d 13555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) = (abs‘𝑥))
130 1red 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
13151adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑈)
132130, 118, 82, 131, 123lelttrd 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 < (abs‘𝑥))
133130, 82, 132ltled 10826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ (abs‘𝑥))
1344ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
135 nnuz 12321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
136134, 135eleqtrdi 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13782, 133, 136leexp2ad 13667 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
138129, 137eqbrtrrd 5056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
13982, 83, 113lemul2d 12516 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁) ↔ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
140138, 139mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
141112, 115, 116, 127, 140ltletrd 10838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
142141, 89breqtrrd 5060 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
143 lttr 10755 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
144112, 73, 107, 143syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
145142, 144mpand 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
146111, 145syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
147146expr 460 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
148147a2d 29 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
14962, 148syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
150149ralimdva 3108 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
151 breq1 5035 . . . . 5 (𝑟 = 𝑈 → (𝑟 < (abs‘𝑥) ↔ 𝑈 < (abs‘𝑥)))
152151rspceaimv 3546 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
15353, 150, 152syl6an 683 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
154153rexlimdva 3208 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15524, 154mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ifcif 4420   class class class wbr 5032  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ℤ≥cuz 12282  ℝ+crp 12430  ...cfz 12939  ↑cexp 13479  abscabs 14641  Σcsu 15090  0𝑝c0p 24369  Polycply 24880  coeffccoe 24882  degcdgr 24883 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-0p 24370  df-ply 24884  df-coe 24886  df-dgr 24887 This theorem is referenced by:  fta  25764
 Copyright terms: Public domain W3C validator