MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem2 26423
Description: Lemma for fta 26429. There exists some 𝑟 such that 𝐹 has magnitude greater than 𝐹(0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem2.5 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
ftalem2.6 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
Assertion
Ref Expression
ftalem2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐴   𝑁,𝑟,𝑠,𝑥   𝐹,𝑟,𝑠,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠   𝑇,𝑟,𝑥   𝑈,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51coef3 25593 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
74nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
94nnne0d 12203 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102, 1dgreq0 25626 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
12 dgr0 25623 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
1311, 12eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
142, 13eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1510, 14syl6bir 253 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2964 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
189, 17mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
198, 18absrpcld 15333 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12969 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
21 2fveq3 6847 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑛)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
2221cbvsumv 15581 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘))
2322oveq1i 7367 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
241, 2, 3, 4, 20, 23ftalem1 26422 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
25 ftalem2.5 . . . . . 6 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
26 ftalem2.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
27 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
29 0cn 11147 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
30 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3128, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3231abscld 15321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
3332, 20rerpdivcld 12988 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) ∈ ℝ)
3426, 33eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
36 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
37 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ifcl 4531 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4035, 39ifcld 4532 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) ∈ ℝ)
4125, 40eqeltrid 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ)
42 0red 11158 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
43 1red 11156 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
44 0lt1 11677 . . . . . . 7 0 < 1
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 1)
46 max1 13104 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
4737, 36, 46sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
48 max1 13104 . . . . . . . . 9 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
4939, 35, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5049, 25breqtrrdi 5147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑈)
5143, 39, 41, 47, 50letrd 11312 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑈)
5242, 43, 41, 45, 51ltletrd 11315 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 𝑈)
5341, 52elrpd 12954 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
54 max2 13106 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5537, 36, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5636, 39, 41, 55, 50letrd 11312 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠𝑈)
5756adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠𝑈)
58 abscl 15163 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
59 lelttr 11245 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6036, 41, 58, 59syl2an3an 1422 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6157, 60mpand 693 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6261imim1d 82 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))))
6328ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
64 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6563, 64ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
668ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
677ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6864, 67expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
6966, 68mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
7065, 69subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
7170abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) ∈ ℝ)
7269abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
7471, 73, 72ltsub2d 11765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
7566, 68absmuld 15339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))))
7664, 67absexpd 15337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝑥𝑁)) = ((abs‘𝑥)↑𝑁))
7776oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7875, 77eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
7978oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2))
8066abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
8180recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8258ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8382, 67reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
8483recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
85 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
86 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
8881, 84, 85, 87div23d 11968 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8979, 88eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9089breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
9172recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
92912halvesd 12399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))
9392oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)))
9473recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℂ)
9594, 94pncand 11513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9693, 95eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
9796breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9874, 90, 973bitr3d 308 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
9969, 65subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
10069, 99abs2difd 15342 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) ≤ (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))))
10169, 65abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))
102101oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))))
10369, 65nncand 11517 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
104103fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
105100, 102, 1043brtr3d 5136 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
10672, 71resubcld 11583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ)
10765abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
108 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10973, 106, 107, 108syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
110105, 109mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11198, 110sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11232ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
11320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
114113rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ)
115114, 82remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
11689, 73eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ℝ)
11735adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11841adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℝ)
119 max2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
12039, 35, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
121120, 25breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇𝑈)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇𝑈)
123 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 < (abs‘𝑥))
124117, 118, 82, 122, 123lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 < (abs‘𝑥))
12526, 124eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥))
126112, 82, 113ltdivmuld 13008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥))))
127125, 126mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)))
12882recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
129128exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) = (abs‘𝑥))
130 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
13151adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑈)
132130, 118, 82, 131, 123lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 < (abs‘𝑥))
133130, 82, 132ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ (abs‘𝑥))
1344ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
135 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
136134, 135eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
13782, 133, 136leexp2ad 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
138129, 137eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
13982, 83, 113lemul2d 13001 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁) ↔ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
140138, 139mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
141112, 115, 116, 127, 140ltletrd 11315 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
142141, 89breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
143 lttr 11231 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
144112, 73, 107, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
145142, 144mpand 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
146111, 145syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
147146expr 457 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
148147a2d 29 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
14962, 148syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
150149ralimdva 3164 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
151 breq1 5108 . . . . 5 (𝑟 = 𝑈 → (𝑟 < (abs‘𝑥) ↔ 𝑈 < (abs‘𝑥)))
152151rspceaimv 3585 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
15353, 150, 152syl6an 682 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
154153rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15524, 154mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  abscabs 15119  Σcsu 15570  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552
This theorem is referenced by:  fta  26429
  Copyright terms: Public domain W3C validator