Theorem flhalf 13865

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flhalf	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		peano2re 11384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
5		flltp1 13835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
7	4	flcld 13833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
8	7	zred 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
9		1red 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
10	8, 9	readdcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
11		2rp 13022	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
13	3, 10, 12	ltdivmuld 13112	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
14	6, 13	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
15	9	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
16	15	2timesd 12488	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
17	16	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18		2cnd 12320	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19	8	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
20	18, 19, 15	adddid 11234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
21		2re 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
23	22, 8	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
25	24, 15, 15	addassd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
26	17, 20, 25	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
27	14, 26	breqtrd 5138	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
28	23, 9	readdcld 11239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
29	1, 28, 9	ltadd1d 11808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
30	27, 29	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
31		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
33	32, 7	zmulcld 12707	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
34		zleltp1 12646	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
35	33, 34	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
36	30, 35	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  2c2 12296  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827

This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  25636