MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 13795
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 12562 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 peano2re 11387 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
43rehalfcld 12459 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„)
5 flltp1 13765 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
74flcld 13763 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
87zred 12666 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„)
9 1red 11215 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
108, 9readdcld 11243 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„)
11 2rp 12979 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1211a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
133, 10, 12ltdivmuld 13067 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 11242 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16152timesd 12455 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 12290 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
198recnd 11242 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„‚)
2018, 19, 15adddid 11238 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)))
21 2re 12286 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2322, 8remulcld 11244 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„)
2423recnd 11242 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„‚)
2524, 15, 15addassd 11236 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2783 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 5175 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 11243 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
291, 28, 9ltadd1d 11807 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1))
31 2z 12594 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3231a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3332, 7zmulcld 12672 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค)
34 zleltp1 12613 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 686 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 257 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  25013
  Copyright terms: Public domain W3C validator