MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 13741
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 12508 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 peano2re 11333 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
43rehalfcld 12405 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„)
5 flltp1 13711 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
74flcld 13709 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
87zred 12612 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„)
9 1red 11161 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
108, 9readdcld 11189 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„)
11 2rp 12925 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1211a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
133, 10, 12ltdivmuld 13013 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 231 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 11188 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16152timesd 12401 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 12236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
198recnd 11188 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„‚)
2018, 19, 15adddid 11184 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)))
21 2re 12232 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2322, 8remulcld 11190 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„)
2423recnd 11188 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„‚)
2524, 15, 15addassd 11182 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2783 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 5132 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 11189 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
291, 28, 9ltadd1d 11753 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 257 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1))
31 2z 12540 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3231a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3332, 7zmulcld 12618 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค)
34 zleltp1 12559 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 686 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 257 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  24876
  Copyright terms: Public domain W3C validator