MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flhalf 13291
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 zre 12066 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 peano2re 10891 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11963 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
5 flltp1 13261 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
74flcld 13259 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
87zred 12168 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
9 1red 10720 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
108, 9readdcld 10748 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
11 2rp 12477 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
133, 10, 12ltdivmuld 12565 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
146, 13mpbid 235 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
159recnd 10747 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
16152timesd 11959 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
1716oveq2d 7186 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
18 2cnd 11794 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
198recnd 10747 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
2018, 19, 15adddid 10743 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
21 2re 11790 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
2322, 8remulcld 10749 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
2423recnd 10747 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
2524, 15, 15addassd 10741 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2617, 20, 253eqtr4d 2783 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2714, 26breqtrd 5056 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
2823, 9readdcld 10748 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
291, 28, 9ltadd1d 11311 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3027, 29mpbird 260 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
31 2z 12095 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3332, 7zmulcld 12174 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
34 zleltp1 12114 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3533, 34mpdan 687 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3630, 35mpbird 260 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  2c2 11771  cz 12062  +crp 12472  cfl 13251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fl 13253
This theorem is referenced by:  ovolunlem1a  24248
  Copyright terms: Public domain W3C validator