MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivlti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivlti 25991
Description: The log๐‘ฅ / ๐‘ฅ function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
logdivlti (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))

Proof of Theorem logdivlti
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e โ‰ค ๐ด)
3 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
4 ere 15976 . . . . . . . . . . 11 e โˆˆ โ„
5 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 lelttr 11250 . . . . . . . . . . 11 ((e โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((e โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต))
74, 5, 1, 6mp3an2i 1467 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((e โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต))
82, 3, 7mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e < ๐ต)
9 epos 16094 . . . . . . . . . 10 0 < e
10 0re 11162 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
11 lttr 11236 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < e โˆง e < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1210, 4, 1, 11mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((0 < e โˆง e < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
139, 12mpani 695 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (e < ๐ต โ†’ 0 < ๐ต))
148, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
151, 14elrpd 12959 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
16 ltletr 11252 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง e โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < e โˆง e โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
1710, 4, 5, 16mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((0 < e โˆง e โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
189, 17mpani 695 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (e โ‰ค ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
192, 18mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ด)
205, 19elrpd 12959 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
2115, 20rpdivcld 12979 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+)
22 relogcl 25947 . . . . . 6 ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„)
241, 20rerpdivcld 12993 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„)
25 1re 11160 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
26 resubcl 11470 . . . . . 6 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2724, 25, 26sylancl 587 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
28 relogcl 25947 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2920, 28syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3027, 29remulcld 11190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 reeflog 25952 . . . . . . . . 9 ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (๐ต / ๐ด))
3221, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (๐ต / ๐ด))
33 ax-1cn 11114 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3424recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 pncan3 11414 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) = (๐ต / ๐ด))
3633, 34, 35sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) = (๐ต / ๐ด))
3732, 36eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) = (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
385recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938mulid2d 11178 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4039, 3eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท ๐ด) < ๐ต)
41 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
42 ltmuldiv 12033 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ†” 1 < (๐ต / ๐ด)))
4341, 1, 5, 19, 42syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((1 ยท ๐ด) < ๐ต โ†” 1 < (๐ต / ๐ด)))
4440, 43mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ต / ๐ด))
45 difrp 12958 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
4625, 24, 45sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
4744, 46mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
48 efgt1p 16002 . . . . . . . 8 (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 + ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
5037, 49eqbrtrd 5128 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
51 eflt 16004 . . . . . . 7 (((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))))
5223, 27, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(๐ต / ๐ด))) < (expโ€˜((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))))
5350, 52mpbird 257 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
5427recnd 11188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5554mulid1d 11177 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
56 df-e 15956 . . . . . . . . 9 e = (expโ€˜1)
57 reeflog 25952 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
5820, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
592, 58breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ e โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด)))
6056, 59eqbrtrrid 5142 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด)))
61 efle 16005 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6225, 29, 61sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (expโ€˜1) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6360, 62mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค (logโ€˜๐ด))
64 posdif 11653 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
6525, 24, 64sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 < (๐ต / ๐ด) โ†” 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1)))
6644, 65mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))
67 lemul2 12013 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1))) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด))))
6841, 29, 27, 66, 67syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด))))
6963, 68mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
7055, 69eqbrtrrd 5130 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) โ‰ค (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
7123, 27, 30, 53, 70ltletrd 11320 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) < (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)))
72 relogdiv 25964 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7315, 20, 72syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
74 1cnd 11155 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7529recnd 11188 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7634, 74, 75subdird 11617 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) = (((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 ยท (logโ€˜๐ด))))
771recnd 11188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7820rpne0d 12967 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰  0)
7977, 38, 75, 78div32d 11959 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)))
8075mulid2d 11178 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜๐ด))
8179, 80oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 ยท (logโ€˜๐ด))) = ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
8276, 81eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆ’ 1) ยท (logโ€˜๐ด)) = ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
8371, 73, 823brtr3d 5137 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) < ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
84 relogcl 25947 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
8515, 84syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
8629, 20rerpdivcld 12993 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
871, 86remulcld 11190 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8885, 87, 29ltsub1d 11769 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โ†” ((logโ€˜๐ต) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) < ((๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)) โˆ’ (logโ€˜๐ด))))
8983, 88mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด)))
9085, 86, 15ltdivmuld 13013 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด) โ†” (logโ€˜๐ต) < (๐ต ยท ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))))
9189, 90mpbird 257 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ((logโ€˜๐ต) / ๐ต) < ((logโ€˜๐ด) / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„+crp 12920  expce 15949  eceu 15950  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  logdivlt  25992
  Copyright terms: Public domain W3C validator