Theorem logdivlti 26586

Description: The log𝑥 / 𝑥 function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
logdivlti	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Proof of Theorem logdivlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ 𝐴)
3		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
4		ere 16110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ e ∈ ℝ
5		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		lelttr 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
7	4, 5, 1, 6	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((e ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵))
8	2, 3, 7	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e < 𝐵)
9		epos 16230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < e
10		0re 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		lttr 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
12	10, 4, 1, 11	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e < 𝐵) → 0 < 𝐵))
13	9, 12	mpani 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e < 𝐵 → 0 < 𝐵))
14	8, 13	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
15	1, 14	elrpd 13053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
16		ltletr 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
17	10, 4, 5, 16	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
18	9, 17	mpani 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (e ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
19	2, 18	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐴)
20	5, 19	elrpd 13053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21	15, 20	rpdivcld 13073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+)
22		relogcl 26541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
24	1, 20	rerpdivcld 13087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
25		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		resubcl 11552	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
28		relogcl 26541	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	20, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 11270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		reeflog 26546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
32	21, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
33		ax-1cn 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
34	24	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
35		pncan3 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
36	33, 34, 35	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) = (𝐵 / 𝐴))
37	32, 36	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
38	5	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	mullidd 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
40	39, 3	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · 𝐴) < 𝐵)
41		1red 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
42		ltmuldiv 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
43	41, 1, 5, 19, 42	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
44	40, 43	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 < (𝐵 / 𝐴))
45		difrp 13052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
46	25, 24, 45	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+)
48		efgt1p 16138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ+ → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 + ((𝐵 / 𝐴) − 1)) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
50	37, 49	eqbrtrd 5146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
51		eflt 16140	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
52	23, 27, 51	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1) ↔ (exp‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) < (exp‘((𝐵 / 𝐴) − 1))))
53	50, 52	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
54	27	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
55	54	mulridd 11257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
56		df-e 16089	. . . . . . . . 9 ⊢ e = (exp‘1)
57		reeflog 26546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
58	20, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
59	2, 58	breqtrrd 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → e ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
60	56, 59	eqbrtrrid 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
61		efle 16141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
62	25, 29, 61	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
63	60, 62	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ≤ (log‘𝐴))
64		posdif 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
65	25, 24, 64	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐵 / 𝐴) ↔ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1)))
66	44, 65	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))
67		lemul2 12099	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 / 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 / 𝐴) − 1))) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
68	41, 29, 27, 66, 67	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 ≤ (log‘𝐴) ↔ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴))))
69	63, 68	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
70	55, 69	eqbrtrrd 5148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) − 1) ≤ (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
71	23, 27, 30, 53, 70	ltletrd 11400	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) < (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)))
72		relogdiv 26559	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
73	15, 20, 72	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
74		1cnd 11235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
75	29	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
76	34, 74, 75	subdird 11699	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))))
77	1	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
78	20	rpne0d 13061	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≠ 0)
79	77, 38, 75, 78	div32d 12045	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) = (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
80	75	mullidd 11258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 · (log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
81	79, 80	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) · (log‘𝐴)) − (1 · (log‘𝐴))) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
82	76, 81	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵 / 𝐴) − 1) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
83	71, 73, 82	3brtr3d 5155	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴)))
84		relogcl 26541	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
85	15, 84	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
86	29, 20	rerpdivcld 13087	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
87	1, 86	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ∈ ℝ)
88	85, 87, 29	ltsub1d 11851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) ↔ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) < ((𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)) − (log‘𝐴))))
89	83, 88	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴)))
90	85, 86, 15	ltdivmuld 13107	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) ↔ (log‘𝐵) < (𝐵 · ((log‘𝐴) / 𝐴))))
91	89, 90	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13013  expce 16082  eceu 16083  logclog 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-e 16089  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522

This theorem is referenced by:  logdivlt  26587