MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3halfnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3halfnz 12688
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 12639 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 12334 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mullidi 11265 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 12431 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 5173 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 11260 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 12339 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 12333 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 12362 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 469 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 12134 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1457 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 229 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 12433 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 12423 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 5160 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 230 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 12384 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 5160 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 12136 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1457 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 274 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 230 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 12685 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1457 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159   < clt 11294   / cdiv 11917  2c2 12314  3c3 12315  4c4 12316  cz 12605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12520  df-z 12606
This theorem is referenced by:  n2dvds3  16368  nn0o1gt2  16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator