MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3halfnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3halfnz 12695
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 12645 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mullidi 11264 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 12436 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 5169 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 11259 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 12344 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 12338 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 12367 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 470 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 12139 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1460 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 230 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 12438 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 12428 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 5156 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 231 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 12389 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 5156 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 12141 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1460 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 275 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 231 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 12692 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1460 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  n2dvds3  16405  nn0o1gt2  16415
  Copyright terms: Public domain W3C validator