Theorem 3halfnz 12649

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12598	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		2cn 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	mullidi 11184	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
4		2lt3 12388	. . . 4 ⊢ 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 5120	. . 3 ⊢ (1 · 2) < 3
6		1re 11178	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		3re 12295	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		2re 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2pos 12319	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11		ltmuldiv 12062	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1481	. . 3 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
13	5, 12	mpbi 232	. 2 ⊢ 1 < (3 / 2)
14		3lt4 12391	. . . 4 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 12378	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
16	15	breq2i 5107	. . . 4 ⊢ (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
17	14, 16	mpbir 233	. . 3 ⊢ 3 < (2 · 2)
18		1p1e2 12338	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
19	18	breq2i 5107	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20		ltdivmul 12064	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
22	19, 21	bitri 277	. . 3 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
23	17, 22	mpbir 233	. 2 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
24		btwnnz 12646	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1481	1 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566

This theorem is referenced by:  n2dvds3  16388  nn0o1gt2  16398