MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3halfnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3halfnz 12047
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 11998 . 2 1 ∈ ℤ
2 2cn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℂ
32mulid2i 10631 . . . 4 (1 · 2) = 2
4 2lt3 11795 . . . 4 2 < 3
53, 4eqbrtri 5068 . . 3 (1 · 2) < 3
6 1re 10626 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 3re 11703 . . . 4 3 ∈ ℝ
8 2re 11697 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 2pos 11726 . . . . 5 0 < 2
108, 9pm3.2i 474 . . . 4 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11 ltmuldiv 11498 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
126, 7, 10, 11mp3an 1458 . . 3 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
135, 12mpbi 233 . 2 1 < (3 / 2)
14 3lt4 11797 . . . 4 3 < 4
15 2t2e4 11787 . . . . 5 (2 · 2) = 4
1615breq2i 5055 . . . 4 (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
1714, 16mpbir 234 . . 3 3 < (2 · 2)
18 1p1e2 11748 . . . . 5 (1 + 1) = 2
1918breq2i 5055 . . . 4 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20 ltdivmul 11500 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
217, 8, 10, 20mp3an 1458 . . . 4 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2219, 21bitri 278 . . 3 ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
2317, 22mpbir 234 . 2 (3 / 2) < (1 + 1)
24 btwnnz 12044 . 2 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
251, 13, 23, 24mp3an 1458 1 ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527   < clt 10660   / cdiv 11282  2c2 11678  3c3 11679  4c4 11680  cz 11967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968
This theorem is referenced by:  n2dvds3  15709  nn0o1gt2  15719
  Copyright terms: Public domain W3C validator