Theorem 3halfnz 12049

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12000	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		2cn 11700	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	mulid2i 10635	. . . 4 ⊢ (1 · 2) = 2
4		2lt3 11797	. . . 4 ⊢ 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 5051	. . 3 ⊢ (1 · 2) < 3
6		1re 10630	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		3re 11705	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		2re 11699	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		2pos 11728	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
11		ltmuldiv 11502	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
13	5, 12	mpbi 233	. 2 ⊢ 1 < (3 / 2)
14		3lt4 11799	. . . 4 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11789	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
16	15	breq2i 5038	. . . 4 ⊢ (3 < (2 · 2) ↔ 3 < 4)
17	14, 16	mpbir 234	. . 3 ⊢ 3 < (2 · 2)
18		1p1e2 11750	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
19	18	breq2i 5038	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ (3 / 2) < 2)
20		ltdivmul 11504	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
22	19, 21	bitri 278	. . 3 ⊢ ((3 / 2) < (1 + 1) ↔ 3 < (2 · 2))
23	17, 22	mpbir 234	. 2 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
24		btwnnz 12046	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 < (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)) → ¬ (3 / 2) ∈ ℤ)
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1458	1 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   / cdiv 11286  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  n2dvds3  15712  nn0o1gt2  15722