Theorem minmar1marrep 22152

Description: The minor matrix is a special case of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019.) (Revised by AV, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1marrep.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1marrep.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
minmar1marrep.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
minmar1marrep	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Proof of Theorem minmar1marrep

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1marrep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1marrep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
4		minmar1marrep.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	minmar1val0 22149	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
7	6	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 4	ringidcl 20083	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
13	1, 2, 12, 5	marrepval0 22063	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
14	8, 11, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	7, 14	eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  1_rcur 20004  Ringcrg 20056   Mat cmat 21907   matRRep cmarrep 22058   minMatR1 cminmar1 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-mat 21908  df-marrep 22060  df-minmar1 22137

This theorem is referenced by:  minmar1cl  22153  smadiadetglem1  22173  submatminr1  32790