Theorem minmar1marrep 22971

Description: The minor matrix is a special case of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019.) (Revised by AV, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1marrep.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1marrep.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
minmar1marrep.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
minmar1marrep	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Proof of Theorem minmar1marrep

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1marrep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1marrep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
4		minmar1marrep.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	minmar1val0 22968	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 4	ringidcl 20500	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
13	1, 2, 12, 5	marrepval0 22882	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
14	8, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	7, 14	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  1_rcur 20413  Ringcrg 20465   Mat cmat 22728   matRRep cmarrep 22877   minMatR1 cminmar1 22954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-mat 22729  df-marrep 22879  df-minmar1 22956

This theorem is used by:  minmar1cl  22972  smadiadetglem1  22992  submatminr1  34489