Theorem minmar1marrep 22844

Description: The minor matrix is a special case of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019.) (Revised by AV, 4-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1marrep.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1marrep.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
minmar1marrep.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
minmar1marrep	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Proof of Theorem minmar1marrep

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1marrep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1marrep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
4		minmar1marrep.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	minmar1val0 22841	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 4	ringidcl 20380	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
13	1, 2, 12, 5	marrepval0 22755	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
14	8, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	7, 14	eqtr4d 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  1_rcur 20294  Ringcrg 20346   Mat cmat 22601   matRRep cmarrep 22750   minMatR1 cminmar1 22827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-mat 22602  df-marrep 22752  df-minmar1 22829

This theorem is used by:  minmar1cl  22845  smadiadetglem1  22865  submatminr1  34231