Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minmar1marrep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minmar1marrep 21254
 Description: The minor matrix is a special case of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019.) (Revised by AV, 4-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
minmar1marrep.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1marrep.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
minmar1marrep.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
minmar1marrep ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Proof of Theorem minmar1marrep
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minmar1marrep.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 minmar1marrep.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2824 . . . 4 (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
4 minmar1marrep.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
5 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
61, 2, 3, 4, 5minmar1val0 21251 . . 3 (𝑀𝐵 → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
76adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
9 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
109, 4ringidcl 19316 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
1110adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12 eqid 2824 . . . 4 (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
131, 2, 12, 5marrepval0 21165 . . 3 ((𝑀𝐵1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
148, 11, 13syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
157, 14eqtr4d 2862 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ifcif 4450  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ∈ cmpo 7148  Basecbs 16481  0gc0g 16711  1rcur 19249  Ringcrg 19295   Mat cmat 21011   matRRep cmarrep 21160   minMatR1 cminmar1 21237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-plusg 16576  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-mat 21012  df-marrep 21162  df-minmar1 21239 This theorem is referenced by:  minmar1cl  21255  smadiadetglem1  21275  submatminr1  31105
 Copyright terms: Public domain W3C validator