Theorem submatminr1 33916

Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
submatminr1.e	⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)

Assertion

Ref	Expression
submatminr1	⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateq.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submateq.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		submateq.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		submateq.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
5		submateq.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
6		submatminr1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		submatminr1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8		submatminr1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 9	minmar1marrep 22592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
11	8, 6, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
12	11	oveqd 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
13	7, 12	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 9	ringidcl 20198	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 2	marrepcl 22506	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
18	8, 6, 16, 4, 5, 17	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
19	13, 18	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	13	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
21	20	oveqd 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗))
22	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀 ∈ 𝐵)
23	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
27	26	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
29	28	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	1, 2, 30, 31	marrepeval 22505	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
33	22, 23, 24, 25, 27, 29, 32	syl222anc 1388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34		eldifsn 4740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
35	26, 34	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
36	35	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ≠ 𝐼)
37	36	neneqd 2935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
38	37	iffalsed 4488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
39	21, 33, 38	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39	submateq 33915	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  ifcif 4477  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025  ℕcn 12143  ...cfz 13421  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   Mat cmat 22349   matRRep cmarrep 22498   minMatR1 cminmar1 22575  subMat1csmat 33899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-mat 22350  df-marrep 22500  df-minmar1 22577  df-smat 33900

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33933