Theorem submatminr1 34144

Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
submatminr1.e	⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)

Assertion

Ref	Expression
submatminr1	⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateq.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submateq.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		submateq.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		submateq.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
5		submateq.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
6		submatminr1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		submatminr1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8		submatminr1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 9	minmar1marrep 22775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
11	8, 6, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
12	11	oveqd 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
13	7, 12	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
14		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 9	ringidcl 20347	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 2	marrepcl 22689	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
18	8, 6, 16, 4, 5, 17	syl32anc 1403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
19	13, 18	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	13	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
21	20	oveqd 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗))
22	6	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀 ∈ 𝐵)
23	16	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	4	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25	5	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
27	26	eldifad 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
29	28	eldifad 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	1, 2, 30, 31	marrepeval 22688	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
33	22, 23, 24, 25, 27, 29, 32	syl222anc 1411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34		eldifsn 4758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
35	26, 34	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
36	35	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ≠ 𝐼)
37	36	neneqd 2969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
38	37	iffalsed 4503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
39	21, 33, 38	3eqtrrd 2809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39	submateq 34143	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  ifcif 4492  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100  ℕcn 12232  ...cfz 13534  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314   Mat cmat 22532   matRRep cmarrep 22681   minMatR1 cminmar1 22758  subMat1csmat 34127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-mat 22533  df-marrep 22683  df-minmar1 22760  df-smat 34128

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  34161