Theorem submatminr1 34495

Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
submatminr1.e	⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)

Assertion

Ref	Expression
submatminr1	⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateq.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submateq.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		submateq.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		submateq.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
5		submateq.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
6		submatminr1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		submatminr1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8		submatminr1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 9	minmar1marrep 22977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
11	8, 6, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
12	11	oveqd 7444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
13	7, 12	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 9	ringidcl 20506	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 2	marrepcl 22891	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
18	8, 6, 16, 4, 5, 17	syl32anc 1405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
19	13, 18	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	13	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
21	20	oveqd 7444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗))
22	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀 ∈ 𝐵)
23	16	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
27	26	eldifad 4053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
29	28	eldifad 4053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	1, 2, 30, 31	marrepeval 22890	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
33	22, 23, 24, 25, 27, 29, 32	syl222anc 1413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
35	26, 34	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
36	35	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ≠ 𝐼)
37	36	neneqd 2963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
38	37	iffalsed 4495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
39	21, 33, 38	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39	submateq 34494	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ∖ cdif 4047  ifcif 4484  {csn 4587  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1c1 11211  ℕcn 12345  ...cfz 13649  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  1_rcur 20419  Ringcrg 20471   Mat cmat 22734   matRRep cmarrep 22883   minMatR1 cminmar1 22960  subMat1csmat 34478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-mat 22735  df-marrep 22885  df-minmar1 22962  df-smat 34479

This theorem is used by:  madjusmdetlem1  34512