Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submatminr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submatminr1 31285
 Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateq.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m (𝜑𝑀𝐵)
submatminr1.e 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
Assertion
Ref Expression
submatminr1 (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submateq.a . 2 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2 submateq.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 submateq.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 submateq.i . 2 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
5 submateq.j . 2 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
6 submatminr1.m . 2 (𝜑𝑀𝐵)
7 submatminr1.e . . . 4 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8 submatminr1.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2758 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
101, 2, 9minmar1marrep 21355 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
118, 6, 10syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
1211oveqd 7172 . . . 4 (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽))
137, 12syl5eq 2805 . . 3 (𝜑𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽))
14 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1514, 9ringidcl 19394 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
168, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
171, 2marrepcl 21269 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
188, 6, 16, 4, 5, 17syl32anc 1375 . . 3 (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
1913, 18eqeltrd 2852 . 2 (𝜑𝐸𝐵)
20133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽))
2120oveqd 7172 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽)𝑗))
2263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀𝐵)
23163ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2443ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
2553ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
2726eldifad 3872 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
2928eldifad 3872 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30 eqid 2758 . . . . 5 ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
321, 2, 30, 31marrepeval 21268 . . . 4 (((𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
3322, 23, 24, 25, 27, 29, 32syl222anc 1383 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34 eldifsn 4680 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖𝐼))
3526, 34sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖𝐼))
3635simprd 499 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖𝐼)
3736neneqd 2956 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
3837iffalsed 4434 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
3921, 33, 383eqtrrd 2798 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39submateq 31284 1 (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857  ifcif 4423  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1c1 10581  ℕcn 11679  ...cfz 12944  Basecbs 16546  0gc0g 16776  1rcur 19324  Ringcrg 19370   Mat cmat 21112   matRRep cmarrep 21261   minMatR1 cminmar1 21338  subMat1csmat 31268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-hom 16652  df-cco 16653  df-0g 16778  df-prds 16784  df-pws 16786  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-dsmm 20502  df-frlm 20517  df-mat 21113  df-marrep 21263  df-minmar1 21340  df-smat 31269 This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  31302
 Copyright terms: Public domain W3C validator