Theorem submatminr1 33756

Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
submatminr1.e	⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)

Assertion

Ref	Expression
submatminr1	⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateq.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submateq.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		submateq.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		submateq.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
5		submateq.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
6		submatminr1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		submatminr1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8		submatminr1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 9	minmar1marrep 22677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
11	8, 6, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
12	11	oveqd 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
13	7, 12	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 9	ringidcl 20289	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 2	marrepcl 22591	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
18	8, 6, 16, 4, 5, 17	syl32anc 1378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
19	13, 18	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	13	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
21	20	oveqd 7465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗))
22	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀 ∈ 𝐵)
23	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
27	26	eldifad 3988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
29	28	eldifad 3988	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	1, 2, 30, 31	marrepeval 22590	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
33	22, 23, 24, 25, 27, 29, 32	syl222anc 1386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34		eldifsn 4811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
35	26, 34	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
36	35	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ≠ 𝐼)
37	36	neneqd 2951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
38	37	iffalsed 4559	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
39	21, 33, 38	3eqtrrd 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39	submateq 33755	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  ifcif 4548  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  ℕcn 12293  ...cfz 13567  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260   Mat cmat 22432   matRRep cmarrep 22583   minMatR1 cminmar1 22660  subMat1csmat 33739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mat 22433  df-marrep 22585  df-minmar1 22662  df-smat 33740

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33773