Theorem submatminr1 33800

Description: If we take a submatrix by removing the row 𝐼 and column 𝐽, then the result is the same on the matrix with row 𝐼 and column 𝐽 modified by the minMatR1 operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateq.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submateq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
submateq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateq.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
submateq.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
submatminr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
submatminr1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
submatminr1.e	⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)

Assertion

Ref	Expression
submatminr1	⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Proof of Theorem submatminr1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateq.a	. 2 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2		submateq.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		submateq.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		submateq.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
5		submateq.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
6		submatminr1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
7		submatminr1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽)
8		submatminr1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	1, 2, 9	minmar1marrep 22537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
11	8, 6, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅)))
12	11	oveqd 7404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(((1...𝑁) minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐽) = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
13	7, 12	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 9	ringidcl 20174	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 2	marrepcl 22451	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁))) → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
18	8, 6, 16, 4, 5, 17	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽) ∈ 𝐵)
19	13, 18	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	13	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐸 = (𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽))
21	20	oveqd 7404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝐸𝑗) = (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗))
22	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑀 ∈ 𝐵)
23	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
26		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}))
27	26	eldifad 3926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
28		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽}))
29	28	eldifad 3926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
30		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) matRRep 𝑅) = ((1...𝑁) matRRep 𝑅)
31		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	1, 2, 30, 31	marrepeval 22450	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
33	22, 23, 24, 25, 27, 29, 32	syl222anc 1388	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖(𝐼(𝑀((1...𝑁) matRRep 𝑅)(1r‘𝑅))𝐽)𝑗) = if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))
34		eldifsn 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
35	26, 34	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝐼))
36	35	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → 𝑖 ≠ 𝐼)
37	36	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
38	37	iffalsed 4499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → if(𝑖 = 𝐼, if(𝑗 = 𝐽, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
39	21, 33, 38	3eqtrrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝐸𝑗))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 39	submateq 33799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼(subMat1‘𝑀)𝐽) = (𝐼(subMat1‘𝐸)𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  ifcif 4488  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ℕcn 12186  ...cfz 13468  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142   Mat cmat 22294   matRRep cmarrep 22443   minMatR1 cminmar1 22520  subMat1csmat 33783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295  df-marrep 22445  df-minmar1 22522  df-smat 33784

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33817