Theorem mnringmulrvald 45210

Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrvald.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
mnringmulrvald.4	⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
mnringmulrvald.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrvald.7	⊢ · = (.r‘𝐹)
mnringmulrvald.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrvald.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringmulrvald.10	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnringmulrvald.11	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖, 𝑎, 𝑏)   + (𝑖, 𝑎, 𝑏)   ∙ (𝑖, 𝑎, 𝑏)   · (𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝟎 (𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrvald.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrvald.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrvald.3	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
4		mnringmulrvald.4	. . . . 5 ⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
5		mnringmulrvald.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
6		mnringmulrvald.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
7		mnringmulrvald.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringmulrvald.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringmulrd 45206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r‘𝐹))
10		mnringmulrvald.7	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
12	11	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))))
13		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
14		fveq1 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
15	13, 14	oveqan12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)) = ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)))
16	15	ifeq1d 4502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))
17	16	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))
18	17	mpoeq3dv 7497	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))))
19	18	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
20	19	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
21		mnringmulrvald.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mnringmulrvald.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		ovexd 7453	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
24	12, 20, 21, 22, 23	ovmpod 7570	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604   MndRing cmnring 45194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-seq 14138  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mnring 45195

This theorem is used by:  mnringmulrcld  45211