Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrvald 42976
Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrvald.1 ๐น = (๐‘… MndRing ๐‘€)
mnringmulrvald.2 ๐ต = (Baseโ€˜๐น)
mnringmulrvald.3 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘…)
mnringmulrvald.4 ๐ŸŽ = (0gโ€˜๐‘…)
mnringmulrvald.5 ๐ด = (Baseโ€˜๐‘€)
mnringmulrvald.6 + = (+gโ€˜๐‘€)
mnringmulrvald.7 ยท = (.rโ€˜๐น)
mnringmulrvald.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘ˆ)
mnringmulrvald.9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘Š)
mnringmulrvald.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mnringmulrvald.11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrvald (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   + (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   โˆ™ (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Š(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐ŸŽ (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mnringmulrvald
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringmulrvald.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘… MndRing ๐‘€)
2 mnringmulrvald.2 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐น)
3 mnringmulrvald.3 . . . . 5 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘…)
4 mnringmulrvald.4 . . . . 5 ๐ŸŽ = (0gโ€˜๐‘…)
5 mnringmulrvald.5 . . . . 5 ๐ด = (Baseโ€˜๐‘€)
6 mnringmulrvald.6 . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
7 mnringmulrvald.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘ˆ)
8 mnringmulrvald.9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘Š)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mnringmulrd 42970 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))) = (.rโ€˜๐น))
10 mnringmulrvald.7 . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐น)
119, 10eqtr4di 2790 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))) = ยท )
1211eqcomd 2738 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))))
13 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) = (๐‘‹โ€˜๐‘Ž))
14 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘) = (๐‘Œโ€˜๐‘))
1513, 14oveqan12d 7427 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)) = ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)))
1615ifeq1d 4547 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ) = if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))
1716mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )) = (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))
1817mpoeq3dv 7487 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))
1918oveq2d 7424 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
2019adantl 482 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
21 mnringmulrvald.10 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
22 mnringmulrvald.11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
23 ovexd 7443 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) โˆˆ V)
2412, 20, 21, 22, 23ovmpod 7559 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385   MndRing cmnring 42955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-seq 13966  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mnring 42956
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42977
  Copyright terms: Public domain W3C validator