Theorem mnringmulrvald 44223

Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrvald.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
mnringmulrvald.4	⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
mnringmulrvald.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrvald.7	⊢ · = (.r‘𝐹)
mnringmulrvald.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrvald.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringmulrvald.10	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnringmulrvald.11	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑖,𝑎,𝑏)   ∙ (𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑎,𝑏)   𝟎 (𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrvald.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrvald.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrvald.3	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
4		mnringmulrvald.4	. . . . 5 ⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
5		mnringmulrvald.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
6		mnringmulrvald.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
7		mnringmulrvald.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringmulrvald.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringmulrd 44219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r‘𝐹))
10		mnringmulrvald.7	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
12	11	eqcomd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))))
13		fveq1 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
14		fveq1 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
15	13, 14	oveqan12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)) = ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)))
16	15	ifeq1d 4511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))
17	16	mpteq2dv 5204	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))
18	17	mpoeq3dv 7471	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))))
19	18	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
21		mnringmulrvald.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mnringmulrvald.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		ovexd 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
24	12, 20, 21, 22, 23	ovmpod 7544	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4491   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410   MndRing cmnring 44207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-seq 13974  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mnring 44208

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  44224