Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrvald 43587
Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrvald.1 ๐น = (๐‘… MndRing ๐‘€)
mnringmulrvald.2 ๐ต = (Baseโ€˜๐น)
mnringmulrvald.3 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘…)
mnringmulrvald.4 ๐ŸŽ = (0gโ€˜๐‘…)
mnringmulrvald.5 ๐ด = (Baseโ€˜๐‘€)
mnringmulrvald.6 + = (+gโ€˜๐‘€)
mnringmulrvald.7 ยท = (.rโ€˜๐น)
mnringmulrvald.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘ˆ)
mnringmulrvald.9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘Š)
mnringmulrvald.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
mnringmulrvald.11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrvald (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘,๐‘–   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   + (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   โˆ™ (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Š(๐‘–,๐‘Ž,๐‘)   ๐ŸŽ (๐‘–,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mnringmulrvald
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringmulrvald.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘… MndRing ๐‘€)
2 mnringmulrvald.2 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐น)
3 mnringmulrvald.3 . . . . 5 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘…)
4 mnringmulrvald.4 . . . . 5 ๐ŸŽ = (0gโ€˜๐‘…)
5 mnringmulrvald.5 . . . . 5 ๐ด = (Baseโ€˜๐‘€)
6 mnringmulrvald.6 . . . . 5 + = (+gโ€˜๐‘€)
7 mnringmulrvald.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘ˆ)
8 mnringmulrvald.9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘Š)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mnringmulrd 43581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))) = (.rโ€˜๐น))
10 mnringmulrvald.7 . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐น)
119, 10eqtr4di 2785 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))) = ยท )
1211eqcomd 2733 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยท = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))))
13 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) = (๐‘‹โ€˜๐‘Ž))
14 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘) = (๐‘Œโ€˜๐‘))
1513, 14oveqan12d 7433 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)) = ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)))
1615ifeq1d 4543 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ) = if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))
1716mpteq2dv 5244 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )) = (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))
1817mpoeq3dv 7493 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ ))))
1918oveq2d 7430 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
2019adantl 481 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘ฅโ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘ฆโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
21 mnringmulrvald.10 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
22 mnringmulrvald.11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
23 ovexd 7449 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))) โˆˆ V)
2412, 20, 21, 22, 23ovmpod 7567 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐น ฮฃg (๐‘Ž โˆˆ ๐ด, ๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(๐‘– = (๐‘Ž + ๐‘), ((๐‘‹โ€˜๐‘Ž) โˆ™ (๐‘Œโ€˜๐‘)), ๐ŸŽ )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  0gc0g 17412   ฮฃg cgsu 17413   MndRing cmnring 43566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-seq 13991  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mnring 43567
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  43588
  Copyright terms: Public domain W3C validator