Theorem mnringmulrvald 44580

Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrvald.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
mnringmulrvald.4	⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
mnringmulrvald.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrvald.7	⊢ · = (.r‘𝐹)
mnringmulrvald.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrvald.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringmulrvald.10	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnringmulrvald.11	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑖,𝑎,𝑏)   ∙ (𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑎,𝑏)   𝟎 (𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrvald.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrvald.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrvald.3	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
4		mnringmulrvald.4	. . . . 5 ⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
5		mnringmulrvald.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
6		mnringmulrvald.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
7		mnringmulrvald.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringmulrvald.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringmulrd 44576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r‘𝐹))
10		mnringmulrvald.7	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
12	11	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))))
13		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
14		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
15	13, 14	oveqan12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)) = ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)))
16	15	ifeq1d 4501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))
17	16	mpteq2dv 5194	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))
18	17	mpoeq3dv 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))))
19	18	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
21		mnringmulrvald.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mnringmulrvald.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		ovexd 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
24	12, 20, 21, 22, 23	ovmpod 7520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372   MndRing cmnring 44564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mnring 44565

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  44581