Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrvald 40855
 Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrvald.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3 = (.r𝑅)
mnringmulrvald.4 𝟎 = (0g𝑅)
mnringmulrvald.5 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6 + = (+g𝑀)
mnringmulrvald.7 · = (.r𝐹)
mnringmulrvald.8 (𝜑𝑅𝑈)
mnringmulrvald.9 (𝜑𝑀𝑊)
mnringmulrvald.10 (𝜑𝑋𝐵)
mnringmulrvald.11 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrvald (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑖,𝑎,𝑏)   (𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑎,𝑏)   𝟎 (𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringmulrvald.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 mnringmulrvald.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 mnringmulrvald.3 . . . . 5 = (.r𝑅)
4 mnringmulrvald.4 . . . . 5 𝟎 = (0g𝑅)
5 mnringmulrvald.5 . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝑀)
6 mnringmulrvald.6 . . . . 5 + = (+g𝑀)
7 mnringmulrvald.8 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑈)
8 mnringmulrvald.9 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mnringmulrd 40851 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r𝐹))
10 mnringmulrvald.7 . . . 4 · = (.r𝐹)
119, 10syl6eqr 2877 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
1211eqcomd 2830 . 2 (𝜑· = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))))
13 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑎) = (𝑋𝑎))
14 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝑏) = (𝑌𝑏))
1513, 14oveqan12d 7168 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)) = ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)))
1615ifeq1d 4468 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 ))
1716mpteq2dv 5148 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))
1817mpoeq3dv 7226 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 ))))
1918oveq2d 7165 . . 3 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
2019adantl 485 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
21 mnringmulrvald.10 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
22 mnringmulrvald.11 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
23 ovexd 7184 . 2 (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
2412, 20, 21, 22, 23ovmpod 7295 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ifcif 4450   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  0gc0g 16713   Σg cgsu 16714   MndRing cmnring 40839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-seq 13374  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mnring 40840 This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  40856
 Copyright terms: Public domain W3C validator