Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrvald 42919
Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrvald.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3 = (.r𝑅)
mnringmulrvald.4 𝟎 = (0g𝑅)
mnringmulrvald.5 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6 + = (+g𝑀)
mnringmulrvald.7 · = (.r𝐹)
mnringmulrvald.8 (𝜑𝑅𝑈)
mnringmulrvald.9 (𝜑𝑀𝑊)
mnringmulrvald.10 (𝜑𝑋𝐵)
mnringmulrvald.11 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrvald (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑖,𝑎,𝑏)   (𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑎,𝑏)   𝟎 (𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringmulrvald.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 mnringmulrvald.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 mnringmulrvald.3 . . . . 5 = (.r𝑅)
4 mnringmulrvald.4 . . . . 5 𝟎 = (0g𝑅)
5 mnringmulrvald.5 . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝑀)
6 mnringmulrvald.6 . . . . 5 + = (+g𝑀)
7 mnringmulrvald.8 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑈)
8 mnringmulrvald.9 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mnringmulrd 42913 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r𝐹))
10 mnringmulrvald.7 . . . 4 · = (.r𝐹)
119, 10eqtr4di 2791 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
1211eqcomd 2739 . 2 (𝜑· = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))))))
13 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑎) = (𝑋𝑎))
14 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝑏) = (𝑌𝑏))
1513, 14oveqan12d 7423 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)) = ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)))
1615ifeq1d 4546 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 ))
1716mpteq2dv 5249 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))
1817mpoeq3dv 7483 . . . 4 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 ))))
1918oveq2d 7420 . . 3 ((𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
2019adantl 483 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) (𝑦𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
21 mnringmulrvald.10 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
22 mnringmulrvald.11 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
23 ovexd 7439 . 2 (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
2412, 20, 21, 22, 23ovmpod 7555 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋𝑎) (𝑌𝑏)), 𝟎 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4527  cmpt 5230  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382   MndRing cmnring 42898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-seq 13963  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mnring 42899
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42920
  Copyright terms: Public domain W3C validator