Theorem mnringmulrvald 42497

Description: Value of multiplication in a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrvald.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrvald.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrvald.3	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
mnringmulrvald.4	⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
mnringmulrvald.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrvald.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrvald.7	⊢ · = (.r‘𝐹)
mnringmulrvald.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrvald.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
mnringmulrvald.10	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mnringmulrvald.11	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrvald	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖   𝑋,𝑎,𝑏,𝑖   𝑌,𝑎,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑖,𝑎,𝑏)   ∙ (𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑎,𝑏)   𝟎 (𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrvald

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrvald.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrvald.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrvald.3	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
4		mnringmulrvald.4	. . . . 5 ⊢ 𝟎 = (0g‘𝑅)
5		mnringmulrvald.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
6		mnringmulrvald.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
7		mnringmulrvald.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringmulrvald.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringmulrd 42491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = (.r‘𝐹))
10		mnringmulrvald.7	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))) = · )
12	11	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))))))
13		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝑎) = (𝑋‘𝑎))
14		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦‘𝑏) = (𝑌‘𝑏))
15	13, 14	oveqan12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)) = ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)))
16	15	ifeq1d 4505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ) = if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))
17	16	mpteq2dv 5207	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )) = (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))
18	17	mpoeq3dv 7436	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 ))) = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 ))))
19	18	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
20	19	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) ∙ (𝑦‘𝑏)), 𝟎 )))) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))
21		mnringmulrvald.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mnringmulrvald.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		ovexd 7392	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))) ∈ V)
24	12, 20, 21, 22, 23	ovmpod 7507	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑋‘𝑎) ∙ (𝑌‘𝑏)), 𝟎 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322   MndRing cmnring 42476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mnring 42477

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42498