Theorem mnringmulrd 44190

Description: The ring product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrd.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
mnringmulrd.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mnringmulrd.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrd.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrd.8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   0 (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrd.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrd.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐴) = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5		mnringmulrd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
6		mnringmulrd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mnringbaserd 44182	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
8	3	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	8, 8	mpoex 8120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))) ∈ V)
11	1	ovexi 7482	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
13		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V)
15	2, 7	eqtr3id 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
16	1, 3, 4, 5, 6	mnringaddgd 44186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (+g‘𝐹))
17	16	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐹) = (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
18	10, 12, 14, 15, 17	gsumpropd 18716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))) = ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))
19	7, 7, 18	mpoeq123dv 7525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))))
20		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ∈ V
21	20, 20	mpoex 8120	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) ∈ V
22		mulridx 17353	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
23	22	setsid 17255	. . . 4 ⊢ (((𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩)))
24	13, 21, 23	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩))
25		mnringmulrd.3	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		mnringmulrd.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27		mnringmulrd.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
28		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴))
29	1, 25, 26, 3, 27, 4, 28, 5, 6	mnringvald 44177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩))
30	29	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐹) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩)))
31	24, 30	eqtr4id 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))
32	19, 31	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   sSet csts 17210  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500   freeLMod cfrlm 21789   MndRing cmnring 44175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-seq 14053  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mnring 44176

This theorem is referenced by:  mnringmulrvald  44196