Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrd 40851
 Description: The ring product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrd.2 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrd.3 · = (.r𝑅)
mnringmulrd.4 0 = (0g𝑅)
mnringmulrd.5 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrd.6 + = (+g𝑀)
mnringmulrd.7 (𝜑𝑅𝑈)
mnringmulrd.8 (𝜑𝑀𝑊)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrd (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (.r𝐹))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   0 (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrd
StepHypRef Expression
1 mnringmulrd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 mnringmulrd.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 mnringmulrd.5 . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑀)
4 eqid 2824 . . . 4 (𝑅 freeLMod 𝐴) = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5 mnringmulrd.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝑈)
6 mnringmulrd.8 . . . 4 (𝜑𝑀𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6mnringbaserd 40844 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
83fvexi 6675 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
98, 8mpoex 7773 . . . . 5 (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))) ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))) ∈ V)
111ovexi 7183 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
13 ovex 7182 . . . . 5 (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V)
152, 7syl5eqr 2873 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
161, 3, 4, 5, 6mnringaddgd 40848 . . . . 5 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (+g𝐹))
1716eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → (+g𝐹) = (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
1810, 12, 14, 15, 17gsumpropd 17888 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))) = ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))))
197, 7, 18mpoeq123dv 7222 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))))
20 mnringmulrd.3 . . . . 5 · = (.r𝑅)
21 mnringmulrd.4 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
22 mnringmulrd.6 . . . . 5 + = (+g𝑀)
23 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴))
241, 20, 21, 3, 22, 4, 23, 5, 6mnringvald 40841 . . . 4 (𝜑𝐹 = ((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))))⟩))
2524fveq2d 6665 . . 3 (𝜑 → (.r𝐹) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))))⟩)))
26 fvex 6674 . . . . 5 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ∈ V
2726, 26mpoex 7773 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) ∈ V
28 mulrid 16616 . . . . 5 .r = Slot (.r‘ndx)
2928setsid 16538 . . . 4 (((𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))))⟩)))
3013, 27, 29mp2an 691 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 )))))⟩))
3125, 30syl6reqr 2878 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (.r𝐹))
3219, 31eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥𝑎) · (𝑦𝑏)), 0 ))))) = (.r𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ifcif 4450  ⟨cop 4556   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  0gc0g 16713   Σg cgsu 16714   freeLMod cfrlm 20890   MndRing cmnring 40839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-seq 13374  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mnring 40840 This theorem is referenced by:  mnringmulrvald  40855
 Copyright terms: Public domain W3C validator