Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringmulrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringmulrd 42412
Description: The ring product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringmulrd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrd.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
mnringmulrd.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
mnringmulrd.4 0 = (0gβ€˜π‘…)
mnringmulrd.5 𝐴 = (Baseβ€˜π‘€)
mnringmulrd.6 + = (+gβ€˜π‘€)
mnringmulrd.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
mnringmulrd.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
mnringmulrd (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (.rβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘Ž,𝑏,𝑖,π‘₯,𝑦   𝑀,π‘Ž,𝑏,𝑖,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   + (π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)   0 (π‘₯,𝑦,𝑖,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrd
StepHypRef Expression
1 mnringmulrd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 mnringmulrd.2 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 mnringmulrd.5 . . . 4 𝐴 = (Baseβ€˜π‘€)
4 eqid 2737 . . . 4 (𝑅 freeLMod 𝐴) = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5 mnringmulrd.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘ˆ)
6 mnringmulrd.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6mnringbaserd 42404 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)))
83fvexi 6853 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
98, 8mpoex 8004 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))) ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))) ∈ V)
111ovexi 7385 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
13 ovex 7384 . . . . 5 (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V)
152, 7eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)))
161, 3, 4, 5, 6mnringaddgd 42408 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (+gβ€˜πΉ))
1716eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)))
1810, 12, 14, 15, 17gsumpropd 18493 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))) = ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))))
197, 7, 18mpoeq123dv 7426 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))))
20 fvex 6852 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ∈ V
2120, 20mpoex 8004 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) ∈ V
22 mulrid 17135 . . . . 5 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
2322setsid 17040 . . . 4 (((𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (.rβ€˜((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))))⟩)))
2413, 21, 23mp2an 690 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (.rβ€˜((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))))⟩))
25 mnringmulrd.3 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
26 mnringmulrd.4 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
27 mnringmulrd.6 . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘€)
28 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴))
291, 25, 26, 3, 27, 4, 28, 5, 6mnringvald 42399 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))))⟩))
3029fveq2d 6843 . . 3 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 )))))⟩)))
3124, 30eqtr4id 2796 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (.rβ€˜πΉ))
3219, 31eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝐹 Ξ£g (π‘Ž ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (π‘Ž + 𝑏), ((π‘₯β€˜π‘Ž) Β· (π‘¦β€˜π‘)), 0 ))))) = (.rβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443  ifcif 4484  βŸ¨cop 4590   ↦ cmpt 5186  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   sSet csts 16995  ndxcnx 17025  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  .rcmulr 17094  0gc0g 17281   Ξ£g cgsu 17282   freeLMod cfrlm 21105   MndRing cmnring 42397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-seq 13861  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mnring 42398
This theorem is referenced by:  mnringmulrvald  42418
  Copyright terms: Public domain W3C validator