Theorem mnringmulrd 41289

Description: The ring product of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringmulrd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringmulrd.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
mnringmulrd.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
mnringmulrd.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mnringmulrd.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringmulrd.6	⊢ + = (+g‘𝑀)
mnringmulrd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringmulrd.8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringmulrd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)   0 (𝑥,𝑦,𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mnringmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringmulrd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2		mnringmulrd.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		mnringmulrd.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
4		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐴) = (𝑅 freeLMod 𝐴)
5		mnringmulrd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
6		mnringmulrd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mnringbaserd 41282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
8	3	fvexi 6665	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	8, 8	mpoex 7775	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))) ∈ V)
11	1	ovexi 7177	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
13		ovex 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V)
15	2, 7	syl5eqr 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
16	1, 3, 4, 5, 6	mnringaddgd 41286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (+g‘𝐹))
17	16	eqcomd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐹) = (+g‘(𝑅 freeLMod 𝐴)))
18	10, 12, 14, 15, 17	gsumpropd 17939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))) = ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))
19	7, 7, 18	mpoeq123dv 7216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))))
20		fvex 6664	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ∈ V
21	20, 20	mpoex 7775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) ∈ V
22		mulrid 16659	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
23	22	setsid 16581	. . . 4 ⊢ (((𝑅 freeLMod 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩)))
24	13, 21, 23	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩))
25		mnringmulrd.3	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		mnringmulrd.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27		mnringmulrd.6	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
28		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴))
29	1, 25, 26, 3, 27, 4, 28, 5, 6	mnringvald 41279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩))
30	29	fveq2d 6655	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝐹) = (.r‘((𝑅 freeLMod 𝐴) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 )))))⟩)))
31	24, 30	eqtr4id 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)), 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐴)) ↦ ((𝑅 freeLMod 𝐴) Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))
32	19, 31	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎 + 𝑏), ((𝑥‘𝑎) · (𝑦‘𝑏)), 0 ))))) = (.r‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  ifcif 4413  ⟨cop 4521   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ∈ cmpo 7145  ndxcnx 16523   sSet csts 16524  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608  ._rcmulr 16609  0_gc0g 16756   Σ_g cgsu 16757   freeLMod cfrlm 20496   MndRing cmnring 41277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-seq 13404  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-mnring 41278

This theorem is referenced by:  mnringmulrvald  41293