MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid2 13868
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem modid2
StepHypRef Expression
1 modge0 13849 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
2 modlt 13850 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
31, 2jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵))
4 breq2 5152 . . . 4 ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ↔ 0 ≤ 𝐴))
5 breq1 5151 . . . 4 ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 mod 𝐵) < 𝐵𝐴 < 𝐵))
64, 5anbi12d 630 . . 3 ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → ((0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)))
73, 6syl5ibcom 244 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)))
8 modid 13866 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
98ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴))
107, 9impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐵) = 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cr 11112  0cc0 11113   < clt 11253  cle 11254  +crp 12979   mod cmo 13839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840
This theorem is referenced by:  zmodid2  13869  fouriersw  45246
  Copyright terms: Public domain W3C validator