MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid0 13756
Description: A positive real number modulo itself is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modid0 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)

Proof of Theorem modid0
StepHypRef Expression
1 rpcn 12879 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℂ)
2 rpne0 12885 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ+𝑁 ≠ 0)
31, 2dividd 11887 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
4 1z 12491 . . 3 1 ∈ ℤ
53, 4eqeltrdi 2846 . 2 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ)
6 rpre 12877 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ)
7 mod0 13735 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
86, 7mpancom 686 . 2 (𝑁 ∈ ℝ+ → ((𝑁 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑁) ∈ ℤ))
95, 8mpbird 256 1 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   / cdiv 11770  cz 12457  +crp 12869   mod cmo 13728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fl 13651  df-mod 13729
This theorem is referenced by:  modm1p1mod0  13781  modeqmodmin  13800  cshwn  14639  cshwidxm  14650  smndex1n0mnd  18676  crctcshwlkn0lem6  28605  dignn0flhalflem1  46596
  Copyright terms: Public domain W3C validator