MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmodid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmodid2 12922
Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
zmodid2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2
StepHypRef Expression
1 zre 11647 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnrp 12056 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 modid2 12921 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
41, 2, 3syl2an 585 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
5 nnz 11665 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11654 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
7 elfzm11 12634 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
86, 7mpan 673 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
9 3anass 1109 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
108, 9syl6bb 278 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
115, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
12 ibar 520 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
1312bicomd 214 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1411, 13sylan9bbr 502 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
154, 14bitr4d 273 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156   class class class wbr 4844  (class class class)co 6874  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  cn 11305  cz 11643  +crp 12046  ...cfz 12549   mod cmo 12892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-sup 8587  df-inf 8588  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fl 12817  df-mod 12893
This theorem is referenced by:  zmodidfzo  12923  crctcshwlkn0lem4  26934
  Copyright terms: Public domain W3C validator