Theorem zmodid2 13934

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
zmodid2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12597	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nnrp 13030	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		modid2 13933	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
5		nnz 12614	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12604	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		elfzm11 13625	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
8	6, 7	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
9		3anass 1109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
10	8, 9	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
11	5, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
12		ibar 537	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
13	12	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
14	11, 13	sylan9bbr 519	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
15	4, 14	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7413  ℝcr 11101  0cc0 11102  1c1 11103   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11443  ℕcn 12235  ℤcz 12593  ℝ⁺crp 13018  ...cfz 13537   mod cmo 13904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-fl 13827  df-mod 13905

This theorem is referenced by:  zmodidfzo  13935  crctcshwlkn0lem4  30105