MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmodid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmodid2 13257
Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
zmodid2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2
StepHypRef Expression
1 zre 11974 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnrp 12390 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 modid2 13256 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
5 nnz 11993 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11981 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
7 elfzm11 12968 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
86, 7mpan 686 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
9 3anass 1089 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
108, 9syl6bb 288 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
115, 10syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
12 ibar 529 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
1312bicomd 224 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1411, 13sylan9bbr 511 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
154, 14bitr4d 283 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11627  cz 11970  +crp 12379  ...cfz 12882   mod cmo 13227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fl 13152  df-mod 13228
This theorem is referenced by:  zmodidfzo  13258  crctcshwlkn0lem4  27508
  Copyright terms: Public domain W3C validator