Theorem expge0 14135

Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
2	1	elrab 3694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4		ax-resscn 11209	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	3, 4	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6		breq2 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
7	6	elrab 3694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8		breq2 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
9	8	elrab 3694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10		breq2 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11		remulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13		mulge0 11778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
14	10, 12, 13	elrabd 3696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
15	7, 9, 14	syl2anb 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
16		1re 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		0le1 11783	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
18		breq2 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
19	18	elrab 3694	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
20	16, 17, 19	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
21	5, 15, 20	expcllem 14109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
22		breq2 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴↑𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
23	22	elrab 3694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑁)))
24	23	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
25	21, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
26	2, 25	sylanbr 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
27	26	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
28	27	3com23 1125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  {crab 3432   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  expge0d  14200  leexp2r  14210  leexp1a  14211  rpnnen2lem4  16249