MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge0 14065
Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5143 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐ด))
21elrab 3676 . . . 4 (๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 ssrab2 4070 . . . . . . 7 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โІ โ„
4 ax-resscn 11164 . . . . . . 7 โ„ โІ โ„‚
53, 4sstri 3984 . . . . . 6 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โІ โ„‚
6 breq2 5143 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
76elrab 3676 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
8 breq2 5143 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
98elrab 3676 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
10 breq2 5143 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
11 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1211ad2ant2r 744 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
13 mulge0 11731 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
1410, 12, 13elrabd 3678 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
157, 9, 14syl2anb 597 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
16 1re 11213 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
17 0le1 11736 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
18 breq2 5143 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 1 โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค 1))
1918elrab 3676 . . . . . . 7 (1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1))
2016, 17, 19mpbir2an 708 . . . . . 6 1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง}
215, 15, 20expcllem 14039 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
22 breq2 5143 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐ดโ†‘๐‘) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
2322elrab 3676 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
2423simprbi 496 . . . . 5 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
2521, 24syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
262, 25sylanbr 581 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
27263impa 1107 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
28273com23 1123 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11248  โ„•0cn0 12471  โ†‘cexp 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13968  df-exp 14029
This theorem is referenced by:  expge0d  14130  leexp2r  14140  leexp1a  14141  rpnnen2lem4  16163
  Copyright terms: Public domain W3C validator