MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge0 14096
Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐ด))
21elrab 3682 . . . 4 (๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 ssrab2 4075 . . . . . . 7 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โІ โ„
4 ax-resscn 11196 . . . . . . 7 โ„ โІ โ„‚
53, 4sstri 3989 . . . . . 6 {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โІ โ„‚
6 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
76elrab 3682 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
8 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
98elrab 3682 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ))
10 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))
11 remulcl 11224 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1211ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
13 mulge0 11763 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
1410, 12, 13elrabd 3684 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
157, 9, 14syl2anb 597 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
16 1re 11245 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
17 0le1 11768 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
18 breq2 5152 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 1 โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค 1))
1918elrab 3682 . . . . . . 7 (1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1))
2016, 17, 19mpbir2an 710 . . . . . 6 1 โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง}
215, 15, 20expcllem 14070 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง})
22 breq2 5152 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐ดโ†‘๐‘) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ง โ†” 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
2322elrab 3682 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)))
2423simprbi 496 . . . . 5 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
2521, 24syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ โˆฃ 0 โ‰ค ๐‘ง} โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
262, 25sylanbr 581 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
27263impa 1108 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
28273com23 1124 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2099  {crab 3429   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280  โ„•0cn0 12503  โ†‘cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  expge0d  14161  leexp2r  14171  leexp1a  14172  rpnnen2lem4  16194
  Copyright terms: Public domain W3C validator