MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge0 13319
Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4972 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
21elrab 3621 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 3983 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 10447 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3904 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
76elrab 3621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 3621 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11 remulcl 10475 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1211ad2ant2r 743 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13 mulge0 11012 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
1410, 12, 13elrabd 3623 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
157, 9, 14syl2anb 597 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
16 1re 10494 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 0le1 11017 . . . . . . 7 0 ≤ 1
18 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
1918elrab 3621 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
2016, 17, 19mpbir2an 707 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
215, 15, 20expcllem 13294 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
22 breq2 4972 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2322elrab 3621 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2423simprbi 497 . . . . 5 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴𝑁))
2521, 24syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
262, 25sylanbr 582 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
27263impa 1103 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
28273com23 1119 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080  wcel 2083  {crab 3111   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395  cle 10529  0cn0 11751  cexp 13283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-seq 13224  df-exp 13284
This theorem is referenced by:  expge0d  13382  leexp2r  13392  leexp1a  13393  rpnnen2lem4  15407
  Copyright terms: Public domain W3C validator