MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge0 14139
Description: A nonnegative real raised to a nonnegative integer is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5147 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝐴))
21elrab 3692 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3993 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑥))
76elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
8 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑦))
98elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
10 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
11 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1211ad2ant2r 747 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
13 mulge0 11781 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥 · 𝑦))
1410, 12, 13elrabd 3694 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
157, 9, 14syl2anb 598 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
16 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 0le1 11786 . . . . . . 7 0 ≤ 1
18 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 1))
1918elrab 3692 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
2016, 17, 19mpbir2an 711 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧}
215, 15, 20expcllem 14113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧})
22 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2322elrab 3692 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑁)))
2423simprbi 496 . . . . 5 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} → 0 ≤ (𝐴𝑁))
2521, 24syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
262, 25sylanbr 582 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
27263impa 1110 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
28273com23 1127 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  0cn0 12526  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  expge0d  14204  leexp2r  14214  leexp1a  14215  rpnnen2lem4  16253
  Copyright terms: Public domain W3C validator