Theorem sqrtmul 15244

Description: Square root distributes over multiplication. (Contributed by NM, 30-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtmul	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐵)))

Proof of Theorem sqrtmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simprl 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		mulge0 11768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
5		resqrtcl 15238	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
7		resqrtcl 15238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
9		resqrtcl 15238	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11280	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘𝐴) · (√‘𝐵)) ∈ ℝ)
12		sqrtge0 15242	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
13	3, 4, 12	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
14		sqrtge0 15242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
15	14	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘𝐴))
16		sqrtge0 15242	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (√‘𝐵))
17	16	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘𝐵))
18	8, 10, 15, 17	mulge0d 11827	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((√‘𝐴) · (√‘𝐵)))
19		resqrtth 15240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
20		resqrtth 15240	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
21	19, 20	oveqan12d 7443	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((√‘𝐴)↑2) · ((√‘𝐵)↑2)) = (𝐴 · 𝐵))
22	8	recnd 11278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
23	10	recnd 11278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
24	22, 23	sqmuld 14160	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((√‘𝐴) · (√‘𝐵))↑2) = (((√‘𝐴)↑2) · ((√‘𝐵)↑2)))
25		resqrtth 15240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
26	3, 4, 25	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
27	21, 24, 26	3eqtr4rd 2778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (((√‘𝐴) · (√‘𝐵))↑2))
28	6, 11, 13, 18, 27	sq11d 14258	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℝcr 11143  0cc0 11144   · cmul 11149   ≤ cle 11285  2c2 12303  ↑cexp 14064  √csqrt 15218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220

This theorem is referenced by:  sqrtdiv  15250  absmul  15279  sqrtmuli  15370  sqrtmuld  15409  bposlem9  27243  dchrisum0lem3  27470  aks6d1c2  41605  rrndistlt  45680  itsclc0yqsollem2  47887