Theorem mulgnn0cld 19029

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19024. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19024	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  Mndcmnd 18663  ._gcmg 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-seq 13929  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mulg 19002

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19038  mhmmulg  19049  pwsmulg  19053  odmodnn0  19473  finodsubmsubg  19500  omndmul2  20066  omndmul3  20067  omndmul  20068  srgmulgass  20156  srgpcomp  20157  srgpcompp  20158  srgpcomppsc  20159  srgbinomlem1  20165  srgbinomlem2  20166  srgbinomlem4  20168  srgbinomlem  20169  pwsexpg  20268  lmodvsmmulgdi  20852  freshmansdream  21533  frobrhm  21534  assamulgscmlem2  21860  mplcoe5lem  21998  mplcoe5  21999  evlslem3  22039  evlsvvvallem  22050  evlsvvval  22052  psdmul  22113  psdpw  22117  ply1moncl  22217  coe1pwmul  22225  ply1coefsupp  22245  ply1coe  22246  ply1chr  22254  gsummoncoe1  22256  lply1binomsc  22259  evl1expd  22293  evl1scvarpw  22311  evl1scvarpwval  22312  evl1gsummon  22313  evls1fpws  22317  rhmply1mon  22337  pmatcollpwscmatlem1  22737  mply1topmatcllem  22751  mply1topmatcl  22753  pm2mpghm  22764  monmat2matmon  22772  pm2mp  22773  chpscmatgsumbin  22792  chpscmatgsummon  22793  chfacfscmulcl  22805  chfacfscmul0  22806  chfacfpmmulcl  22809  chfacfpmmul0  22810  cpmadugsumlemB  22822  cpmadugsumlemC  22823  cpmadugsumlemF  22824  cayhamlem2  22832  cayhamlem4  22836  deg1pw  26086  plypf1  26177  lgsqrlem2  27318  lgsqrlem3  27319  lgsqrlem4  27320  isarchi2  33269  ringm1expp1  33318  rprmdvdspow  33616  ressply1evls1  33648  evl1deg1  33659  evl1deg2  33660  evl1deg3  33661  evls1monply1  33662  ply1coedeg  33672  gsummoncoe1fzo  33680  evlextv  33709  vietalem  33737  ply1degltdimlem  33781  ply1degltdim  33782  evls1fldgencl  33829  extdgfialglem1  33851  extdgfialglem2  33852  rtelextdg2lem  33885  2sqr3minply  33939  cos9thpiminplylem6  33946  cos9thpiminply  33947  primrootscoprmpow  42421  aks6d1c1p2  42431  aks6d1c1p3  42432  aks6d1c1p4  42433  aks6d1c1p5  42434  aks6d1c1  42438  aks6d1c2lem3  42448  aks6d1c2lem4  42449  aks6d1c5lem0  42457  aks6d1c5lem3  42459  aks6d1c5lem2  42460  aks6d1c5  42461  deg1pow  42463  aks6d1c6lem1  42492  aks6d1c6lem2  42493  aks5lem2  42509  aks5lem3a  42511  unitscyglem5  42521  domnexpgn0cl  42845  abvexp  42854  evlsexpval  42880  selvvvval  42895  evlselv  42897  mhphflem  42906  mhphf  42907  hbtlem4  43435  lmodvsmdi  48692  ply1mulgsumlem4  48702  ply1mulgsum  48703