Theorem mulgnn0cld 19305

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19300. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19300	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mulg 19278

This theorem is used by:  mulgnn0dir  19314  mhmmulg  19325  pwsmulg  19329  odmodnn0  19754  finodsubmsubg  19781  omndmul2  20347  omndmul3  20348  omndmul  20349  srgmulgass  20443  srgpcomp  20444  srgpcompp  20445  srgpcomppsc  20446  srgbinomlem1  20452  srgbinomlem2  20453  srgbinomlem4  20455  srgbinomlem  20456  pwsexpg  20558  lmodvsmmulgdi  21172  freshmansdream  21880  frobrhm  21881  assamulgscmlem2  22208  mplcoe5lem  22348  mplcoe5  22349  evlslem3  22389  evlsvvvallem  22400  evlsvvval  22402  evlsexpval  22437  selvvvval  22451  psdmul  22487  psdpw  22491  ply1moncl  22590  coe1pwmul  22598  ply1coefsupp  22615  ply1coe  22616  ply1chr  22624  gsummoncoe1  22626  lply1binomsc  22629  evl1expd  22663  evl1scvarpw  22681  evl1scvarpwval  22682  evl1gsummon  22683  evls1fpws  22687  rhmply1mon  22704  pmatcollpwscmatlem1  23107  mply1topmatcllem  23121  mply1topmatcl  23123  pm2mpghm  23134  monmat2matmon  23142  pm2mp  23143  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  chfacfscmulcl  23175  chfacfscmul0  23176  chfacfpmmulcl  23179  chfacfpmmul0  23180  cpmadugsumlemB  23192  cpmadugsumlemC  23193  cpmadugsumlemF  23194  cayhamlem2  23202  cayhamlem4  23206  deg1pw  26439  plypf1  26531  lgsqrlem2  27674  lgsqrlem3  27675  lgsqrlem4  27676  isarchi2  33746  ringm1expp1  33794  rprmdvdspow  34065  ressply1evls1  34097  evl1deg1  34108  evl1deg2  34109  evl1deg3  34110  evls1monply1  34111  ply1coedeg  34121  gsummoncoe1fzo  34129  evlextv  34174  vietalem  34211  ply1degltdimlem  34254  ply1degltdim  34255  evls1fldgencl  34302  extdgfialglem1  34324  extdgfialglem2  34325  rtelextdg2lem  34358  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  primrootscoprmpow  43150  aks6d1c1p2  43160  aks6d1c1p3  43161  aks6d1c1p4  43162  aks6d1c1p5  43163  aks6d1c1  43167  aks6d1c2lem3  43177  aks6d1c2lem4  43178  aks6d1c5lem0  43186  aks6d1c5lem3  43188  aks6d1c5lem2  43189  aks6d1c5  43190  deg1pow  43192  aks6d1c6lem1  43221  aks6d1c6lem2  43222  aks5lem2  43238  aks5lem3a  43240  unitscyglem5  43250  domnexpgn0cl  43585  abvexp  43597  evlselv  43618  mhphflem  43625  mhphf  43626  hbtlem4  44128  lmodvsmdi  49491  ply1mulgsumlem4  49501  ply1mulgsum  49502