Theorem mulgnn0cld 18974

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 18969. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 18969	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143  Mndcmnd 18624  ._gcmg 18949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mulg 18950

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18983  mhmmulg  18994  pwsmulg  18998  odmodnn0  19407  finodsubmsubg  19434  srgmulgass  20039  srgpcomp  20040  srgpcompp  20041  srgpcomppsc  20042  srgbinomlem1  20048  srgbinomlem2  20049  srgbinomlem4  20051  srgbinomlem  20052  pwsexpg  20141  lmodvsmmulgdi  20506  assamulgscmlem2  21453  mplcoe5lem  21593  mplcoe5  21594  evlslem3  21642  ply1moncl  21792  coe1pwmul  21800  ply1coefsupp  21818  ply1coe  21819  gsummoncoe1  21827  lply1binomsc  21830  evl1expd  21863  evl1scvarpw  21881  evl1scvarpwval  21882  evl1gsummon  21883  pmatcollpwscmatlem1  22290  mply1topmatcllem  22304  mply1topmatcl  22306  pm2mpghm  22317  monmat2matmon  22325  pm2mp  22326  chpscmatgsumbin  22345  chpscmatgsummon  22346  chfacfscmulcl  22358  chfacfscmul0  22359  chfacfpmmulcl  22362  chfacfpmmul0  22363  cpmadugsumlemB  22375  cpmadugsumlemC  22376  cpmadugsumlemF  22377  cayhamlem2  22385  cayhamlem4  22389  deg1pw  25637  plypf1  25725  lgsqrlem2  26847  lgsqrlem3  26848  lgsqrlem4  26849  omndmul2  32225  omndmul3  32226  omndmul  32227  isarchi2  32326  freshmansdream  32376  frobrhm  32377  evls1fpws  32641  ply1chr  32656  gsummoncoe1fzo  32663  ply1degltdimlem  32702  ply1degltdim  32703  evlsvvvallem  41135  evlsvvval  41137  evlsexpval  41141  selvvvval  41159  evlselv  41161  mhphflem  41170  mhphf  41171  hbtlem4  41858  lmodvsmdi  47048  ply1mulgsumlem4  47060  ply1mulgsum  47061