Theorem mulgnn0cld 19008

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19003. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19003	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  Mndcmnd 18642  ._gcmg 18980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mulg 18981

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19017  mhmmulg  19028  pwsmulg  19032  odmodnn0  19452  finodsubmsubg  19479  omndmul2  20045  omndmul3  20046  omndmul  20047  srgmulgass  20135  srgpcomp  20136  srgpcompp  20137  srgpcomppsc  20138  srgbinomlem1  20144  srgbinomlem2  20145  srgbinomlem4  20147  srgbinomlem  20148  pwsexpg  20247  lmodvsmmulgdi  20830  freshmansdream  21511  frobrhm  21512  assamulgscmlem2  21837  mplcoe5lem  21974  mplcoe5  21975  evlslem3  22015  psdmul  22081  psdpw  22085  ply1moncl  22185  coe1pwmul  22193  ply1coefsupp  22212  ply1coe  22213  ply1chr  22221  gsummoncoe1  22223  lply1binomsc  22226  evl1expd  22260  evl1scvarpw  22278  evl1scvarpwval  22279  evl1gsummon  22280  evls1fpws  22284  rhmply1mon  22304  pmatcollpwscmatlem1  22704  mply1topmatcllem  22718  mply1topmatcl  22720  pm2mpghm  22731  monmat2matmon  22739  pm2mp  22740  chpscmatgsumbin  22759  chpscmatgsummon  22760  chfacfscmulcl  22772  chfacfscmul0  22773  chfacfpmmulcl  22776  chfacfpmmul0  22777  cpmadugsumlemB  22789  cpmadugsumlemC  22790  cpmadugsumlemF  22791  cayhamlem2  22799  cayhamlem4  22803  deg1pw  26053  plypf1  26144  lgsqrlem2  27285  lgsqrlem3  27286  lgsqrlem4  27287  isarchi2  33154  rprmdvdspow  33498  ressply1evls1  33528  evl1deg1  33539  evl1deg2  33540  evl1deg3  33541  evls1monply1  33542  gsummoncoe1fzo  33558  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  evls1fldgencl  33683  extdgfialglem1  33705  extdgfialglem2  33706  rtelextdg2lem  33739  2sqr3minply  33793  cos9thpiminplylem6  33800  cos9thpiminply  33801  primrootscoprmpow  42191  aks6d1c1p2  42201  aks6d1c1p3  42202  aks6d1c1p4  42203  aks6d1c1p5  42204  aks6d1c1  42208  aks6d1c2lem3  42218  aks6d1c2lem4  42219  aks6d1c5lem0  42227  aks6d1c5lem3  42229  aks6d1c5lem2  42230  aks6d1c5  42231  deg1pow  42233  aks6d1c6lem1  42262  aks6d1c6lem2  42263  aks5lem2  42279  aks5lem3a  42281  unitscyglem5  42291  domnexpgn0cl  42615  abvexp  42624  evlsvvvallem  42653  evlsvvval  42655  evlsexpval  42659  selvvvval  42677  evlselv  42679  mhphflem  42688  mhphf  42689  hbtlem4  43218  lmodvsmdi  48478  ply1mulgsumlem4  48489  ply1mulgsum  48490