Theorem mulgnn0cld 19054

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19049. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19049	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19028

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19063  mhmmulg  19074  pwsmulg  19078  odmodnn0  19499  finodsubmsubg  19526  srgmulgass  20161  srgpcomp  20162  srgpcompp  20163  srgpcomppsc  20164  srgbinomlem1  20170  srgbinomlem2  20171  srgbinomlem4  20173  srgbinomlem  20174  pwsexpg  20269  lmodvsmmulgdi  20784  freshmansdream  21512  assamulgscmlem2  21837  mplcoe5lem  21984  mplcoe5  21985  evlslem3  22033  psdmul  22098  ply1moncl  22199  coe1pwmul  22207  ply1coefsupp  22225  ply1coe  22226  ply1chr  22234  gsummoncoe1  22236  lply1binomsc  22239  evl1expd  22273  evl1scvarpw  22291  evl1scvarpwval  22292  evl1gsummon  22293  evls1fpws  22297  pmatcollpwscmatlem1  22709  mply1topmatcllem  22723  mply1topmatcl  22725  pm2mpghm  22736  monmat2matmon  22744  pm2mp  22745  chpscmatgsumbin  22764  chpscmatgsummon  22765  chfacfscmulcl  22777  chfacfscmul0  22778  chfacfpmmulcl  22781  chfacfpmmul0  22782  cpmadugsumlemB  22794  cpmadugsumlemC  22795  cpmadugsumlemF  22796  cayhamlem2  22804  cayhamlem4  22808  deg1pw  26074  plypf1  26164  lgsqrlem2  27298  lgsqrlem3  27299  lgsqrlem4  27300  omndmul2  32837  omndmul3  32838  omndmul  32839  isarchi2  32938  frobrhm  32985  rprmdvdspow  33296  gsummoncoe1fzo  33325  ply1degltdimlem  33377  ply1degltdim  33378  evls1fldgencl  33415  primrootscoprmpow  41626  aks6d1c1p2  41636  aks6d1c1p3  41637  aks6d1c1p4  41638  aks6d1c1p5  41639  aks6d1c1  41643  aks6d1c2lem3  41653  aks6d1c2lem4  41654  aks6d1c5lem0  41662  aks6d1c5lem3  41664  aks6d1c5lem2  41665  aks6d1c5  41666  deg1pow  41669  aks6d1c6lem1  41698  aks6d1c6lem2  41699  rhmply1mon  41851  evlsvvvallem  41859  evlsvvval  41861  evlsexpval  41865  selvvvval  41883  evlselv  41885  mhphflem  41894  mhphf  41895  hbtlem4  42615  lmodvsmdi  47558  ply1mulgsumlem4  47569  ply1mulgsum  47570