Theorem mulgnn0cld 19022

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19017. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19017	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17153  Mndcmnd 18667  ._gcmg 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19031  mhmmulg  19042  pwsmulg  19046  odmodnn0  19460  finodsubmsubg  19487  srgmulgass  20122  srgpcomp  20123  srgpcompp  20124  srgpcomppsc  20125  srgbinomlem1  20131  srgbinomlem2  20132  srgbinomlem4  20134  srgbinomlem  20135  pwsexpg  20228  lmodvsmmulgdi  20743  freshmansdream  21469  assamulgscmlem2  21794  mplcoe5lem  21936  mplcoe5  21937  evlslem3  21985  ply1moncl  22145  coe1pwmul  22153  ply1coefsupp  22171  ply1coe  22172  ply1chr  22180  gsummoncoe1  22182  lply1binomsc  22185  evl1expd  22219  evl1scvarpw  22237  evl1scvarpwval  22238  evl1gsummon  22239  pmatcollpwscmatlem1  22646  mply1topmatcllem  22660  mply1topmatcl  22662  pm2mpghm  22673  monmat2matmon  22681  pm2mp  22682  chpscmatgsumbin  22701  chpscmatgsummon  22702  chfacfscmulcl  22714  chfacfscmul0  22715  chfacfpmmulcl  22718  chfacfpmmul0  22719  cpmadugsumlemB  22731  cpmadugsumlemC  22732  cpmadugsumlemF  22733  cayhamlem2  22741  cayhamlem4  22745  deg1pw  26011  plypf1  26101  lgsqrlem2  27235  lgsqrlem3  27236  lgsqrlem4  27237  omndmul2  32736  omndmul3  32737  omndmul  32738  isarchi2  32837  frobrhm  32884  evls1fpws  33155  gsummoncoe1fzo  33173  ply1degltdimlem  33225  ply1degltdim  33226  evls1fldgencl  33263  primrootscoprmpow  41479  aks6d1c1p2  41486  aks6d1c1p3  41487  aks6d1c1p4  41488  aks6d1c1p5  41489  aks6d1c1  41493  aks6d1c2lem3  41502  aks6d1c2lem4  41503  aks6d1c5lem0  41511  aks6d1c5lem3  41513  aks6d1c5lem2  41514  aks6d1c5  41515  deg1pow  41518  evlsvvvallem  41690  evlsvvval  41692  evlsexpval  41696  selvvvval  41714  evlselv  41716  mhphflem  41725  mhphf  41726  hbtlem4  42446  lmodvsmdi  47334  ply1mulgsumlem4  47345  ply1mulgsum  47346