Theorem mulgnn0cld 19139

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19134. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1392	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247  Mndcmnd 18770  ._gcmg 19111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-seq 14017  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mulg 19112

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19148  mhmmulg  19159  pwsmulg  19163  odmodnn0  19582  finodsubmsubg  19609  omndmul2  20175  omndmul3  20176  omndmul  20177  srgmulgass  20269  srgpcomp  20270  srgpcompp  20271  srgpcomppsc  20272  srgbinomlem1  20278  srgbinomlem2  20279  srgbinomlem4  20281  srgbinomlem  20282  pwsexpg  20379  lmodvsmmulgdi  20966  freshmansdream  21628  frobrhm  21629  assamulgscmlem2  21954  mplcoe5lem  22094  mplcoe5  22095  evlslem3  22135  evlsvvvallem  22146  evlsvvval  22148  evlsexpval  22183  selvvvval  22197  psdmul  22233  psdpw  22237  ply1moncl  22336  coe1pwmul  22344  ply1coefsupp  22362  ply1coe  22363  ply1chr  22371  gsummoncoe1  22373  lply1binomsc  22376  evl1expd  22410  evl1scvarpw  22428  evl1scvarpwval  22429  evl1gsummon  22430  evls1fpws  22434  rhmply1mon  22451  pmatcollpwscmatlem1  22851  mply1topmatcllem  22865  mply1topmatcl  22867  pm2mpghm  22878  monmat2matmon  22886  pm2mp  22887  chpscmatgsumbin  22906  chpscmatgsummon  22907  chfacfscmulcl  22919  chfacfscmul0  22920  chfacfpmmulcl  22923  chfacfpmmul0  22924  cpmadugsumlemB  22936  cpmadugsumlemC  22937  cpmadugsumlemF  22938  cayhamlem2  22946  cayhamlem4  22950  deg1pw  26183  plypf1  26274  lgsqrlem2  27413  lgsqrlem3  27414  lgsqrlem4  27415  isarchi2  33367  ringm1expp1  33416  rprmdvdspow  33731  ressply1evls1  33763  evl1deg1  33774  evl1deg2  33775  evl1deg3  33776  evls1monply1  33777  ply1coedeg  33787  gsummoncoe1fzo  33795  evlextv  33841  vietalem  33878  ply1degltdimlem  33921  ply1degltdim  33922  evls1fldgencl  33969  extdgfialglem1  33991  extdgfialglem2  33992  rtelextdg2lem  34025  2sqr3minply  34079  cos9thpiminplylem6  34086  cos9thpiminply  34087  primrootscoprmpow  42721  aks6d1c1p2  42731  aks6d1c1p3  42732  aks6d1c1p4  42733  aks6d1c1p5  42734  aks6d1c1  42738  aks6d1c2lem3  42748  aks6d1c2lem4  42749  aks6d1c5lem0  42757  aks6d1c5lem3  42759  aks6d1c5lem2  42760  aks6d1c5  42761  deg1pow  42763  aks6d1c6lem1  42792  aks6d1c6lem2  42793  aks5lem2  42809  aks5lem3a  42811  unitscyglem5  42821  domnexpgn0cl  43146  abvexp  43155  evlselv  43176  mhphflem  43183  mhphf  43184  hbtlem4  43708  lmodvsmdi  49006  ply1mulgsumlem4  49016  ply1mulgsum  49017