Theorem mulgnn0cld 19042

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19037. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19037	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150  Mndcmnd 18673  ._gcmg 19014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-seq 13939  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mulg 19015

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19051  mhmmulg  19062  pwsmulg  19066  odmodnn0  19486  finodsubmsubg  19513  omndmul2  20079  omndmul3  20080  omndmul  20081  srgmulgass  20169  srgpcomp  20170  srgpcompp  20171  srgpcomppsc  20172  srgbinomlem1  20178  srgbinomlem2  20179  srgbinomlem4  20181  srgbinomlem  20182  pwsexpg  20281  lmodvsmmulgdi  20865  freshmansdream  21546  frobrhm  21547  assamulgscmlem2  21873  mplcoe5lem  22011  mplcoe5  22012  evlslem3  22052  evlsvvvallem  22063  evlsvvval  22065  psdmul  22126  psdpw  22130  ply1moncl  22230  coe1pwmul  22238  ply1coefsupp  22258  ply1coe  22259  ply1chr  22267  gsummoncoe1  22269  lply1binomsc  22272  evl1expd  22306  evl1scvarpw  22324  evl1scvarpwval  22325  evl1gsummon  22326  evls1fpws  22330  rhmply1mon  22350  pmatcollpwscmatlem1  22750  mply1topmatcllem  22764  mply1topmatcl  22766  pm2mpghm  22777  monmat2matmon  22785  pm2mp  22786  chpscmatgsumbin  22805  chpscmatgsummon  22806  chfacfscmulcl  22818  chfacfscmul0  22819  chfacfpmmulcl  22822  chfacfpmmul0  22823  cpmadugsumlemB  22835  cpmadugsumlemC  22836  cpmadugsumlemF  22837  cayhamlem2  22845  cayhamlem4  22849  deg1pw  26099  plypf1  26190  lgsqrlem2  27331  lgsqrlem3  27332  lgsqrlem4  27333  isarchi2  33285  ringm1expp1  33334  rprmdvdspow  33632  ressply1evls1  33664  evl1deg1  33675  evl1deg2  33676  evl1deg3  33677  evls1monply1  33678  ply1coedeg  33688  gsummoncoe1fzo  33696  evlextv  33725  vietalem  33762  ply1degltdimlem  33806  ply1degltdim  33807  evls1fldgencl  33854  extdgfialglem1  33876  extdgfialglem2  33877  rtelextdg2lem  33910  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem6  33971  cos9thpiminply  33972  primrootscoprmpow  42498  aks6d1c1p2  42508  aks6d1c1p3  42509  aks6d1c1p4  42510  aks6d1c1p5  42511  aks6d1c1  42515  aks6d1c2lem3  42525  aks6d1c2lem4  42526  aks6d1c5lem0  42534  aks6d1c5lem3  42536  aks6d1c5lem2  42537  aks6d1c5  42538  deg1pow  42540  aks6d1c6lem1  42569  aks6d1c6lem2  42570  aks5lem2  42586  aks5lem3a  42588  unitscyglem5  42598  domnexpgn0cl  42922  abvexp  42931  evlsexpval  42957  selvvvval  42972  evlselv  42974  mhphflem  42983  mhphf  42984  hbtlem4  43512  lmodvsmdi  48768  ply1mulgsumlem4  48778  ply1mulgsum  48779