Theorem mulgnn0cld 19010

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19005. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19005	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12420  Basecbs 17156  Mndcmnd 18644  ._gcmg 18982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-seq 13945  df-0g 17381  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mulg 18983

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19019  mhmmulg  19030  pwsmulg  19034  odmodnn0  19455  finodsubmsubg  19482  omndmul2  20048  omndmul3  20049  omndmul  20050  srgmulgass  20138  srgpcomp  20139  srgpcompp  20140  srgpcomppsc  20141  srgbinomlem1  20147  srgbinomlem2  20148  srgbinomlem4  20150  srgbinomlem  20151  pwsexpg  20250  lmodvsmmulgdi  20836  freshmansdream  21517  frobrhm  21518  assamulgscmlem2  21843  mplcoe5lem  21980  mplcoe5  21981  evlslem3  22021  psdmul  22087  psdpw  22091  ply1moncl  22191  coe1pwmul  22199  ply1coefsupp  22218  ply1coe  22219  ply1chr  22227  gsummoncoe1  22229  lply1binomsc  22232  evl1expd  22266  evl1scvarpw  22284  evl1scvarpwval  22285  evl1gsummon  22286  evls1fpws  22290  rhmply1mon  22310  pmatcollpwscmatlem1  22710  mply1topmatcllem  22724  mply1topmatcl  22726  pm2mpghm  22737  monmat2matmon  22745  pm2mp  22746  chpscmatgsumbin  22765  chpscmatgsummon  22766  chfacfscmulcl  22778  chfacfscmul0  22779  chfacfpmmulcl  22782  chfacfpmmul0  22783  cpmadugsumlemB  22795  cpmadugsumlemC  22796  cpmadugsumlemF  22797  cayhamlem2  22805  cayhamlem4  22809  deg1pw  26060  plypf1  26151  lgsqrlem2  27292  lgsqrlem3  27293  lgsqrlem4  27294  isarchi2  33155  rprmdvdspow  33498  ressply1evls1  33528  evl1deg1  33539  evl1deg2  33540  evl1deg3  33541  gsummoncoe1fzo  33557  ply1degltdimlem  33612  ply1degltdim  33613  evls1fldgencl  33659  rtelextdg2lem  33710  2sqr3minply  33764  cos9thpiminplylem6  33771  cos9thpiminply  33772  primrootscoprmpow  42081  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c1p4  42093  aks6d1c1p5  42094  aks6d1c1  42098  aks6d1c2lem3  42108  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  deg1pow  42123  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171  unitscyglem5  42181  domnexpgn0cl  42505  abvexp  42514  evlsvvvallem  42543  evlsvvval  42545  evlsexpval  42549  selvvvval  42567  evlselv  42569  mhphflem  42578  mhphf  42579  hbtlem4  43109  lmodvsmdi  48361  ply1mulgsumlem4  48372  ply1mulgsum  48373