Theorem mulgnn0cld 19009

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19004. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19004	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  Mndcmnd 18643  ._gcmg 18981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mulg 18982

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19018  mhmmulg  19029  pwsmulg  19033  odmodnn0  19454  finodsubmsubg  19481  omndmul2  20047  omndmul3  20048  omndmul  20049  srgmulgass  20137  srgpcomp  20138  srgpcompp  20139  srgpcomppsc  20140  srgbinomlem1  20146  srgbinomlem2  20147  srgbinomlem4  20149  srgbinomlem  20150  pwsexpg  20249  lmodvsmmulgdi  20835  freshmansdream  21516  frobrhm  21517  assamulgscmlem2  21842  mplcoe5lem  21979  mplcoe5  21980  evlslem3  22020  psdmul  22086  psdpw  22090  ply1moncl  22190  coe1pwmul  22198  ply1coefsupp  22217  ply1coe  22218  ply1chr  22226  gsummoncoe1  22228  lply1binomsc  22231  evl1expd  22265  evl1scvarpw  22283  evl1scvarpwval  22284  evl1gsummon  22285  evls1fpws  22289  rhmply1mon  22309  pmatcollpwscmatlem1  22709  mply1topmatcllem  22723  mply1topmatcl  22725  pm2mpghm  22736  monmat2matmon  22744  pm2mp  22745  chpscmatgsumbin  22764  chpscmatgsummon  22765  chfacfscmulcl  22777  chfacfscmul0  22778  chfacfpmmulcl  22781  chfacfpmmul0  22782  cpmadugsumlemB  22794  cpmadugsumlemC  22795  cpmadugsumlemF  22796  cayhamlem2  22804  cayhamlem4  22808  deg1pw  26059  plypf1  26150  lgsqrlem2  27291  lgsqrlem3  27292  lgsqrlem4  27293  isarchi2  33154  rprmdvdspow  33497  ressply1evls1  33527  evl1deg1  33538  evl1deg2  33539  evl1deg3  33540  gsummoncoe1fzo  33556  ply1degltdimlem  33611  ply1degltdim  33612  evls1fldgencl  33658  rtelextdg2lem  33709  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  primrootscoprmpow  42080  aks6d1c1p2  42090  aks6d1c1p3  42091  aks6d1c1p4  42092  aks6d1c1p5  42093  aks6d1c1  42097  aks6d1c2lem3  42107  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c5lem0  42116  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  aks6d1c5  42120  deg1pow  42122  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem2  42152  aks5lem2  42168  aks5lem3a  42170  unitscyglem5  42180  domnexpgn0cl  42504  abvexp  42513  evlsvvvallem  42542  evlsvvval  42544  evlsexpval  42548  selvvvval  42566  evlselv  42568  mhphflem  42577  mhphf  42578  hbtlem4  43108  lmodvsmdi  48360  ply1mulgsumlem4  48371  ply1mulgsum  48372