Theorem mulgnn0cld 19113

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19108. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19108	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19122  mhmmulg  19133  pwsmulg  19137  odmodnn0  19558  finodsubmsubg  19585  srgmulgass  20214  srgpcomp  20215  srgpcompp  20216  srgpcomppsc  20217  srgbinomlem1  20223  srgbinomlem2  20224  srgbinomlem4  20226  srgbinomlem  20227  pwsexpg  20326  lmodvsmmulgdi  20895  freshmansdream  21593  frobrhm  21594  assamulgscmlem2  21920  mplcoe5lem  22057  mplcoe5  22058  evlslem3  22104  psdmul  22170  psdpw  22174  ply1moncl  22274  coe1pwmul  22282  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  ply1chr  22310  gsummoncoe1  22312  lply1binomsc  22315  evl1expd  22349  evl1scvarpw  22367  evl1scvarpwval  22368  evl1gsummon  22369  evls1fpws  22373  rhmply1mon  22393  pmatcollpwscmatlem1  22795  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  pm2mpghm  22822  monmat2matmon  22830  pm2mp  22831  chpscmatgsumbin  22850  chpscmatgsummon  22851  chfacfscmulcl  22863  chfacfscmul0  22864  chfacfpmmulcl  22867  chfacfpmmul0  22868  cpmadugsumlemB  22880  cpmadugsumlemC  22881  cpmadugsumlemF  22882  cayhamlem2  22890  cayhamlem4  22894  deg1pw  26160  plypf1  26251  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392  lgsqrlem4  27393  omndmul2  33089  omndmul3  33090  omndmul  33091  isarchi2  33192  rprmdvdspow  33561  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  evls1fldgencl  33720  rtelextdg2lem  33767  2sqr3minply  33791  primrootscoprmpow  42100  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c1p4  42112  aks6d1c1p5  42113  aks6d1c1  42117  aks6d1c2lem3  42127  aks6d1c2lem4  42128  aks6d1c5lem0  42136  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  aks6d1c5  42140  deg1pow  42142  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem2  42172  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190  unitscyglem5  42200  domnexpgn0cl  42533  abvexp  42542  evlsvvvallem  42571  evlsvvval  42573  evlsexpval  42577  selvvvval  42595  evlselv  42597  mhphflem  42606  mhphf  42607  hbtlem4  43138  lmodvsmdi  48295  ply1mulgsumlem4  48306  ply1mulgsum  48307