Theorem mulgnn0cld 19066

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19061. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19061	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mulg 19039

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19075  mhmmulg  19086  pwsmulg  19090  odmodnn0  19510  finodsubmsubg  19537  omndmul2  20103  omndmul3  20104  omndmul  20105  srgmulgass  20193  srgpcomp  20194  srgpcompp  20195  srgpcomppsc  20196  srgbinomlem1  20202  srgbinomlem2  20203  srgbinomlem4  20205  srgbinomlem  20206  pwsexpg  20303  lmodvsmmulgdi  20891  freshmansdream  21553  frobrhm  21554  assamulgscmlem2  21879  mplcoe5lem  22019  mplcoe5  22020  evlslem3  22060  evlsvvvallem  22071  evlsvvval  22073  evlsexpval  22108  selvvvval  22122  psdmul  22158  psdpw  22162  ply1moncl  22261  coe1pwmul  22269  ply1coefsupp  22287  ply1coe  22288  ply1chr  22296  gsummoncoe1  22298  lply1binomsc  22301  evl1expd  22335  evl1scvarpw  22353  evl1scvarpwval  22354  evl1gsummon  22355  evls1fpws  22359  rhmply1mon  22376  pmatcollpwscmatlem1  22776  mply1topmatcllem  22790  mply1topmatcl  22792  pm2mpghm  22803  monmat2matmon  22811  pm2mp  22812  chpscmatgsumbin  22831  chpscmatgsummon  22832  chfacfscmulcl  22844  chfacfscmul0  22845  chfacfpmmulcl  22848  chfacfpmmul0  22849  cpmadugsumlemB  22861  cpmadugsumlemC  22862  cpmadugsumlemF  22863  cayhamlem2  22871  cayhamlem4  22875  deg1pw  26108  plypf1  26199  lgsqrlem2  27332  lgsqrlem3  27333  lgsqrlem4  27334  isarchi2  33270  ringm1expp1  33319  rprmdvdspow  33628  ressply1evls1  33660  evl1deg1  33671  evl1deg2  33672  evl1deg3  33673  evls1monply1  33674  ply1coedeg  33684  gsummoncoe1fzo  33692  evlextv  33738  vietalem  33775  ply1degltdimlem  33818  ply1degltdim  33819  evls1fldgencl  33866  extdgfialglem1  33888  extdgfialglem2  33889  rtelextdg2lem  33922  2sqr3minply  33976  cos9thpiminplylem6  33983  cos9thpiminply  33984  primrootscoprmpow  42599  aks6d1c1p2  42609  aks6d1c1p3  42610  aks6d1c1p4  42611  aks6d1c1p5  42612  aks6d1c1  42616  aks6d1c2lem3  42626  aks6d1c2lem4  42627  aks6d1c5lem0  42635  aks6d1c5lem3  42637  aks6d1c5lem2  42638  aks6d1c5  42639  deg1pow  42641  aks6d1c6lem1  42670  aks6d1c6lem2  42671  aks5lem2  42687  aks5lem3a  42689  unitscyglem5  42699  domnexpgn0cl  43024  abvexp  43033  evlselv  43054  mhphflem  43061  mhphf  43062  hbtlem4  43586  lmodvsmdi  48884  ply1mulgsumlem4  48894  ply1mulgsum  48895