Theorem mulgnn0cld 19034

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19029. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19029	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mulg 19007

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19043  mhmmulg  19054  pwsmulg  19058  odmodnn0  19477  finodsubmsubg  19504  srgmulgass  20133  srgpcomp  20134  srgpcompp  20135  srgpcomppsc  20136  srgbinomlem1  20142  srgbinomlem2  20143  srgbinomlem4  20145  srgbinomlem  20146  pwsexpg  20245  lmodvsmmulgdi  20810  freshmansdream  21491  frobrhm  21492  assamulgscmlem2  21816  mplcoe5lem  21953  mplcoe5  21954  evlslem3  21994  psdmul  22060  psdpw  22064  ply1moncl  22164  coe1pwmul  22172  ply1coefsupp  22191  ply1coe  22192  ply1chr  22200  gsummoncoe1  22202  lply1binomsc  22205  evl1expd  22239  evl1scvarpw  22257  evl1scvarpwval  22258  evl1gsummon  22259  evls1fpws  22263  rhmply1mon  22283  pmatcollpwscmatlem1  22683  mply1topmatcllem  22697  mply1topmatcl  22699  pm2mpghm  22710  monmat2matmon  22718  pm2mp  22719  chpscmatgsumbin  22738  chpscmatgsummon  22739  chfacfscmulcl  22751  chfacfscmul0  22752  chfacfpmmulcl  22755  chfacfpmmul0  22756  cpmadugsumlemB  22768  cpmadugsumlemC  22769  cpmadugsumlemF  22770  cayhamlem2  22778  cayhamlem4  22782  deg1pw  26033  plypf1  26124  lgsqrlem2  27265  lgsqrlem3  27266  lgsqrlem4  27267  omndmul2  33033  omndmul3  33034  omndmul  33035  isarchi2  33146  rprmdvdspow  33511  ressply1evls1  33541  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  gsummoncoe1fzo  33570  ply1degltdimlem  33625  ply1degltdim  33626  evls1fldgencl  33672  rtelextdg2lem  33723  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  primrootscoprmpow  42094  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c1p4  42106  aks6d1c1p5  42107  aks6d1c1  42111  aks6d1c2lem3  42121  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c5lem0  42130  aks6d1c5lem3  42132  aks6d1c5lem2  42133  aks6d1c5  42134  deg1pow  42136  aks6d1c6lem1  42165  aks6d1c6lem2  42166  aks5lem2  42182  aks5lem3a  42184  unitscyglem5  42194  domnexpgn0cl  42518  abvexp  42527  evlsvvvallem  42556  evlsvvval  42558  evlsexpval  42562  selvvvval  42580  evlselv  42582  mhphflem  42591  mhphf  42592  hbtlem4  43122  lmodvsmdi  48371  ply1mulgsumlem4  48382  ply1mulgsum  48383