Theorem mulgnn0cld 19076

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19071. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19071	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17226  Mndcmnd 18710  ._gcmg 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-seq 14018  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mulg 19049

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19085  mhmmulg  19096  pwsmulg  19100  odmodnn0  19519  finodsubmsubg  19546  srgmulgass  20175  srgpcomp  20176  srgpcompp  20177  srgpcomppsc  20178  srgbinomlem1  20184  srgbinomlem2  20185  srgbinomlem4  20187  srgbinomlem  20188  pwsexpg  20287  lmodvsmmulgdi  20852  freshmansdream  21533  frobrhm  21534  assamulgscmlem2  21858  mplcoe5lem  21995  mplcoe5  21996  evlslem3  22036  psdmul  22102  psdpw  22106  ply1moncl  22206  coe1pwmul  22214  ply1coefsupp  22233  ply1coe  22234  ply1chr  22242  gsummoncoe1  22244  lply1binomsc  22247  evl1expd  22281  evl1scvarpw  22299  evl1scvarpwval  22300  evl1gsummon  22301  evls1fpws  22305  rhmply1mon  22325  pmatcollpwscmatlem1  22725  mply1topmatcllem  22739  mply1topmatcl  22741  pm2mpghm  22752  monmat2matmon  22760  pm2mp  22761  chpscmatgsumbin  22780  chpscmatgsummon  22781  chfacfscmulcl  22793  chfacfscmul0  22794  chfacfpmmulcl  22797  chfacfpmmul0  22798  cpmadugsumlemB  22810  cpmadugsumlemC  22811  cpmadugsumlemF  22812  cayhamlem2  22820  cayhamlem4  22824  deg1pw  26076  plypf1  26167  lgsqrlem2  27308  lgsqrlem3  27309  lgsqrlem4  27310  omndmul2  33026  omndmul3  33027  omndmul  33028  isarchi2  33129  rprmdvdspow  33494  ressply1evls1  33524  evl1deg1  33535  evl1deg2  33536  evl1deg3  33537  gsummoncoe1fzo  33553  ply1degltdimlem  33608  ply1degltdim  33609  evls1fldgencl  33657  rtelextdg2lem  33706  2sqr3minply  33760  cos9thpiminplylem6  33767  cos9thpiminply  33768  primrootscoprmpow  42058  aks6d1c1p2  42068  aks6d1c1p3  42069  aks6d1c1p4  42070  aks6d1c1p5  42071  aks6d1c1  42075  aks6d1c2lem3  42085  aks6d1c2lem4  42086  aks6d1c5lem0  42094  aks6d1c5lem3  42096  aks6d1c5lem2  42097  aks6d1c5  42098  deg1pow  42100  aks6d1c6lem1  42129  aks6d1c6lem2  42130  aks5lem2  42146  aks5lem3a  42148  unitscyglem5  42158  domnexpgn0cl  42493  abvexp  42502  evlsvvvallem  42531  evlsvvval  42533  evlsexpval  42537  selvvvval  42555  evlselv  42557  mhphflem  42566  mhphf  42567  hbtlem4  43097  lmodvsmdi  48302  ply1mulgsumlem4  48313  ply1mulgsum  48314