Theorem mulgnn0cld 19167

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19162. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19162	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  Mndcmnd 18798  ._gcmg 19139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mulg 19140

This theorem is used by:  mulgnn0dir  19176  mhmmulg  19187  pwsmulg  19191  odmodnn0  19616  finodsubmsubg  19643  omndmul2  20209  omndmul3  20210  omndmul  20211  srgmulgass  20305  srgpcomp  20306  srgpcompp  20307  srgpcomppsc  20308  srgbinomlem1  20314  srgbinomlem2  20315  srgbinomlem4  20317  srgbinomlem  20318  pwsexpg  20417  lmodvsmmulgdi  21029  freshmansdream  21735  frobrhm  21736  assamulgscmlem2  22061  mplcoe5lem  22201  mplcoe5  22202  evlslem3  22242  evlsvvvallem  22253  evlsvvval  22255  evlsexpval  22290  selvvvval  22304  psdmul  22340  psdpw  22344  ply1moncl  22443  coe1pwmul  22451  ply1coefsupp  22468  ply1coe  22469  ply1chr  22477  gsummoncoe1  22479  lply1binomsc  22482  evl1expd  22516  evl1scvarpw  22534  evl1scvarpwval  22535  evl1gsummon  22536  evls1fpws  22540  rhmply1mon  22557  pmatcollpwscmatlem1  22957  mply1topmatcllem  22971  mply1topmatcl  22973  pm2mpghm  22984  monmat2matmon  22992  pm2mp  22993  chpscmatgsumbin  23012  chpscmatgsummon  23013  chfacfscmulcl  23025  chfacfscmul0  23026  chfacfpmmulcl  23029  chfacfpmmul0  23030  cpmadugsumlemB  23042  cpmadugsumlemC  23043  cpmadugsumlemF  23044  cayhamlem2  23052  cayhamlem4  23056  deg1pw  26289  plypf1  26380  lgsqrlem2  27522  lgsqrlem3  27523  lgsqrlem4  27524  isarchi2  33514  ringm1expp1  33562  rprmdvdspow  33832  ressply1evls1  33864  evl1deg1  33875  evl1deg2  33876  evl1deg3  33877  evls1monply1  33878  ply1coedeg  33888  gsummoncoe1fzo  33896  evlextv  33941  vietalem  33978  ply1degltdimlem  34021  ply1degltdim  34022  evls1fldgencl  34069  extdgfialglem1  34091  extdgfialglem2  34092  rtelextdg2lem  34125  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem6  34186  cos9thpiminply  34187  primrootscoprmpow  42894  aks6d1c1p2  42904  aks6d1c1p3  42905  aks6d1c1p4  42906  aks6d1c1p5  42907  aks6d1c1  42911  aks6d1c2lem3  42921  aks6d1c2lem4  42922  aks6d1c5lem0  42930  aks6d1c5lem3  42932  aks6d1c5lem2  42933  aks6d1c5  42934  deg1pow  42936  aks6d1c6lem1  42965  aks6d1c6lem2  42966  aks5lem2  42982  aks5lem3a  42984  unitscyglem5  42994  domnexpgn0cl  43319  abvexp  43328  evlselv  43349  mhphflem  43356  mhphf  43357  hbtlem4  43881  lmodvsmdi  49187  ply1mulgsumlem4  49197  ply1mulgsum  49198