Theorem mulgnn0cld 18974

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 18969. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 18969	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  Mndcmnd 18608  ._gcmg 18946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mulg 18947

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18983  mhmmulg  18994  pwsmulg  18998  odmodnn0  19419  finodsubmsubg  19446  omndmul2  20012  omndmul3  20013  omndmul  20014  srgmulgass  20102  srgpcomp  20103  srgpcompp  20104  srgpcomppsc  20105  srgbinomlem1  20111  srgbinomlem2  20112  srgbinomlem4  20114  srgbinomlem  20115  pwsexpg  20214  lmodvsmmulgdi  20800  freshmansdream  21481  frobrhm  21482  assamulgscmlem2  21807  mplcoe5lem  21944  mplcoe5  21945  evlslem3  21985  psdmul  22051  psdpw  22055  ply1moncl  22155  coe1pwmul  22163  ply1coefsupp  22182  ply1coe  22183  ply1chr  22191  gsummoncoe1  22193  lply1binomsc  22196  evl1expd  22230  evl1scvarpw  22248  evl1scvarpwval  22249  evl1gsummon  22250  evls1fpws  22254  rhmply1mon  22274  pmatcollpwscmatlem1  22674  mply1topmatcllem  22688  mply1topmatcl  22690  pm2mpghm  22701  monmat2matmon  22709  pm2mp  22710  chpscmatgsumbin  22729  chpscmatgsummon  22730  chfacfscmulcl  22742  chfacfscmul0  22743  chfacfpmmulcl  22746  chfacfpmmul0  22747  cpmadugsumlemB  22759  cpmadugsumlemC  22760  cpmadugsumlemF  22761  cayhamlem2  22769  cayhamlem4  22773  deg1pw  26024  plypf1  26115  lgsqrlem2  27256  lgsqrlem3  27257  lgsqrlem4  27258  isarchi2  33136  rprmdvdspow  33479  ressply1evls1  33509  evl1deg1  33520  evl1deg2  33521  evl1deg3  33522  evls1monply1  33523  gsummoncoe1fzo  33539  ply1degltdimlem  33605  ply1degltdim  33606  evls1fldgencl  33653  extdgfialglem1  33675  extdgfialglem2  33676  rtelextdg2lem  33709  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  primrootscoprmpow  42092  aks6d1c1p2  42102  aks6d1c1p3  42103  aks6d1c1p4  42104  aks6d1c1p5  42105  aks6d1c1  42109  aks6d1c2lem3  42119  aks6d1c2lem4  42120  aks6d1c5lem0  42128  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  aks6d1c5  42132  deg1pow  42134  aks6d1c6lem1  42163  aks6d1c6lem2  42164  aks5lem2  42180  aks5lem3a  42182  unitscyglem5  42192  domnexpgn0cl  42516  abvexp  42525  evlsvvvallem  42554  evlsvvval  42556  evlsexpval  42560  selvvvval  42578  evlselv  42580  mhphflem  42589  mhphf  42590  hbtlem4  43119  lmodvsmdi  48383  ply1mulgsumlem4  48394  ply1mulgsum  48395