Theorem mulgnn0cld 19125

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19120. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19120	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17244  Mndcmnd 18759  ._gcmg 19097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mulg 19098

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19134  mhmmulg  19145  pwsmulg  19149  odmodnn0  19572  finodsubmsubg  19599  srgmulgass  20234  srgpcomp  20235  srgpcompp  20236  srgpcomppsc  20237  srgbinomlem1  20243  srgbinomlem2  20244  srgbinomlem4  20246  srgbinomlem  20247  pwsexpg  20342  lmodvsmmulgdi  20911  freshmansdream  21610  frobrhm  21611  assamulgscmlem2  21937  mplcoe5lem  22074  mplcoe5  22075  evlslem3  22121  psdmul  22187  ply1moncl  22289  coe1pwmul  22297  ply1coefsupp  22316  ply1coe  22317  ply1chr  22325  gsummoncoe1  22327  lply1binomsc  22330  evl1expd  22364  evl1scvarpw  22382  evl1scvarpwval  22383  evl1gsummon  22384  evls1fpws  22388  rhmply1mon  22408  pmatcollpwscmatlem1  22810  mply1topmatcllem  22824  mply1topmatcl  22826  pm2mpghm  22837  monmat2matmon  22845  pm2mp  22846  chpscmatgsumbin  22865  chpscmatgsummon  22866  chfacfscmulcl  22878  chfacfscmul0  22879  chfacfpmmulcl  22882  chfacfpmmul0  22883  cpmadugsumlemB  22895  cpmadugsumlemC  22896  cpmadugsumlemF  22897  cayhamlem2  22905  cayhamlem4  22909  deg1pw  26174  plypf1  26265  lgsqrlem2  27405  lgsqrlem3  27406  lgsqrlem4  27407  omndmul2  33071  omndmul3  33072  omndmul  33073  isarchi2  33174  rprmdvdspow  33540  evl1deg1  33580  evl1deg2  33581  evl1deg3  33582  gsummoncoe1fzo  33597  ply1degltdimlem  33649  ply1degltdim  33650  evls1fldgencl  33694  rtelextdg2lem  33731  2sqr3minply  33752  primrootscoprmpow  42080  aks6d1c1p2  42090  aks6d1c1p3  42091  aks6d1c1p4  42092  aks6d1c1p5  42093  aks6d1c1  42097  aks6d1c2lem3  42107  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c5lem0  42116  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  aks6d1c5  42120  deg1pow  42122  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem2  42152  aks5lem2  42168  aks5lem3a  42170  unitscyglem5  42180  domnexpgn0cl  42509  abvexp  42518  evlsvvvallem  42547  evlsvvval  42549  evlsexpval  42553  selvvvval  42571  evlselv  42573  mhphflem  42582  mhphf  42583  hbtlem4  43114  lmodvsmdi  48223  ply1mulgsumlem4  48234  ply1mulgsum  48235