Theorem mulgnn0cld 19161

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19156. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19156	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mulg 19134

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19170  mhmmulg  19181  pwsmulg  19185  odmodnn0  19610  finodsubmsubg  19637  omndmul2  20203  omndmul3  20204  omndmul  20205  srgmulgass  20299  srgpcomp  20300  srgpcompp  20301  srgpcomppsc  20302  srgbinomlem1  20308  srgbinomlem2  20309  srgbinomlem4  20311  srgbinomlem  20312  pwsexpg  20410  lmodvsmmulgdi  20996  freshmansdream  21693  frobrhm  21694  assamulgscmlem2  22019  mplcoe5lem  22159  mplcoe5  22160  evlslem3  22200  evlsvvvallem  22211  evlsvvval  22213  evlsexpval  22248  selvvvval  22262  psdmul  22298  psdpw  22302  ply1moncl  22401  coe1pwmul  22409  ply1coefsupp  22426  ply1coe  22427  ply1chr  22435  gsummoncoe1  22437  lply1binomsc  22440  evl1expd  22474  evl1scvarpw  22492  evl1scvarpwval  22493  evl1gsummon  22494  evls1fpws  22498  rhmply1mon  22515  pmatcollpwscmatlem1  22915  mply1topmatcllem  22929  mply1topmatcl  22931  pm2mpghm  22942  monmat2matmon  22950  pm2mp  22951  chpscmatgsumbin  22970  chpscmatgsummon  22971  chfacfscmulcl  22983  chfacfscmul0  22984  chfacfpmmulcl  22987  chfacfpmmul0  22988  cpmadugsumlemB  23000  cpmadugsumlemC  23001  cpmadugsumlemF  23002  cayhamlem2  23010  cayhamlem4  23014  deg1pw  26247  plypf1  26338  lgsqrlem2  27477  lgsqrlem3  27478  lgsqrlem4  27479  isarchi2  33446  ringm1expp1  33494  rprmdvdspow  33768  ressply1evls1  33800  evl1deg1  33811  evl1deg2  33812  evl1deg3  33813  evls1monply1  33814  ply1coedeg  33824  gsummoncoe1fzo  33832  evlextv  33877  vietalem  33914  ply1degltdimlem  33957  ply1degltdim  33958  evls1fldgencl  34005  extdgfialglem1  34027  extdgfialglem2  34028  rtelextdg2lem  34061  2sqr3minply  34115  cos9thpiminplylem6  34122  cos9thpiminply  34123  primrootscoprmpow  42791  aks6d1c1p2  42801  aks6d1c1p3  42802  aks6d1c1p4  42803  aks6d1c1p5  42804  aks6d1c1  42808  aks6d1c2lem3  42818  aks6d1c2lem4  42819  aks6d1c5lem0  42827  aks6d1c5lem3  42829  aks6d1c5lem2  42830  aks6d1c5  42831  deg1pow  42833  aks6d1c6lem1  42862  aks6d1c6lem2  42863  aks5lem2  42879  aks5lem3a  42881  unitscyglem5  42891  domnexpgn0cl  43218  abvexp  43227  evlselv  43248  mhphflem  43255  mhphf  43256  hbtlem4  43780  lmodvsmdi  49079  ply1mulgsumlem4  49089  ply1mulgsum  49090