Theorem mulgnn0cld 19066

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19061. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19061	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mulg 19039

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19075  mhmmulg  19086  pwsmulg  19090  odmodnn0  19510  finodsubmsubg  19537  omndmul2  20103  omndmul3  20104  omndmul  20105  srgmulgass  20193  srgpcomp  20194  srgpcompp  20195  srgpcomppsc  20196  srgbinomlem1  20202  srgbinomlem2  20203  srgbinomlem4  20205  srgbinomlem  20206  pwsexpg  20303  lmodvsmmulgdi  20887  freshmansdream  21568  frobrhm  21569  assamulgscmlem2  21894  mplcoe5lem  22031  mplcoe5  22032  evlslem3  22072  evlsvvvallem  22083  evlsvvval  22085  psdmul  22146  psdpw  22150  ply1moncl  22250  coe1pwmul  22258  ply1coefsupp  22276  ply1coe  22277  ply1chr  22285  gsummoncoe1  22287  lply1binomsc  22290  evl1expd  22324  evl1scvarpw  22342  evl1scvarpwval  22343  evl1gsummon  22344  evls1fpws  22348  rhmply1mon  22368  pmatcollpwscmatlem1  22768  mply1topmatcllem  22782  mply1topmatcl  22784  pm2mpghm  22795  monmat2matmon  22803  pm2mp  22804  chpscmatgsumbin  22823  chpscmatgsummon  22824  chfacfscmulcl  22836  chfacfscmul0  22837  chfacfpmmulcl  22840  chfacfpmmul0  22841  cpmadugsumlemB  22853  cpmadugsumlemC  22854  cpmadugsumlemF  22855  cayhamlem2  22863  cayhamlem4  22867  deg1pw  26100  plypf1  26191  lgsqrlem2  27328  lgsqrlem3  27329  lgsqrlem4  27330  isarchi2  33265  ringm1expp1  33314  rprmdvdspow  33612  ressply1evls1  33644  evl1deg1  33655  evl1deg2  33656  evl1deg3  33657  evls1monply1  33658  ply1coedeg  33668  gsummoncoe1fzo  33676  evlextv  33705  vietalem  33742  ply1degltdimlem  33786  ply1degltdim  33787  evls1fldgencl  33834  extdgfialglem1  33856  extdgfialglem2  33857  rtelextdg2lem  33890  2sqr3minply  33944  cos9thpiminplylem6  33951  cos9thpiminply  33952  primrootscoprmpow  42558  aks6d1c1p2  42568  aks6d1c1p3  42569  aks6d1c1p4  42570  aks6d1c1p5  42571  aks6d1c1  42575  aks6d1c2lem3  42585  aks6d1c2lem4  42586  aks6d1c5lem0  42594  aks6d1c5lem3  42596  aks6d1c5lem2  42597  aks6d1c5  42598  deg1pow  42600  aks6d1c6lem1  42629  aks6d1c6lem2  42630  aks5lem2  42646  aks5lem3a  42648  unitscyglem5  42658  domnexpgn0cl  42988  abvexp  42997  evlsexpval  43023  selvvvval  43038  evlselv  43040  mhphflem  43049  mhphf  43050  hbtlem4  43578  lmodvsmdi  48873  ply1mulgsumlem4  48883  ply1mulgsum  48884