MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0cld 18855
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 18850. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0cld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t · = (.g𝐺)
mulgnn0cld.m (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cld (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld
StepHypRef Expression
1 mulgnn0cld.m . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 mulgnn0cld.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 mulgnn0cld.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
4 mulgnn0cld.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgnn0cld.t . . 3 · = (.g𝐺)
64, 5mulgnn0cl 18850 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cn0 12371  Basecbs 17042  Mndcmnd 18515  .gcmg 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-seq 13861  df-0g 17282  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mulg 18831
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18864  mhmmulg  18875  pwsmulg  18879  odmodnn0  19280  finodsubmsubg  19307  srgmulgass  19901  srgpcomp  19902  srgpcompp  19903  srgpcomppsc  19904  srgbinomlem1  19910  srgbinomlem2  19911  srgbinomlem4  19913  srgbinomlem  19914  pwsexpg  19996  lmodvsmmulgdi  20309  assamulgscmlem2  21255  mplcoe5lem  21391  mplcoe5  21392  evlslem3  21441  ply1moncl  21593  coe1pwmul  21601  ply1coefsupp  21617  ply1coe  21618  gsummoncoe1  21626  lply1binomsc  21629  evl1expd  21662  evl1scvarpw  21680  evl1scvarpwval  21681  evl1gsummon  21682  pmatcollpwscmatlem1  22089  mply1topmatcllem  22103  mply1topmatcl  22105  pm2mpghm  22116  monmat2matmon  22124  pm2mp  22125  chpscmatgsumbin  22144  chpscmatgsummon  22145  chfacfscmulcl  22157  chfacfscmul0  22158  chfacfpmmulcl  22161  chfacfpmmul0  22162  cpmadugsumlemB  22174  cpmadugsumlemC  22175  cpmadugsumlemF  22176  cayhamlem2  22184  cayhamlem4  22188  deg1pw  25436  plypf1  25524  lgsqrlem2  26646  lgsqrlem3  26647  lgsqrlem4  26648  omndmul2  31744  omndmul3  31745  omndmul  31746  isarchi2  31845  freshmansdream  31890  frobrhm  31891  evls1fpws  32088  ply1chr  32095  evlsbagval  40663  evlsexpval  40664  mhphflem  40672  mhphf  40673  hbtlem4  41355  lmodvsmdi  46352  ply1mulgsumlem4  46364  ply1mulgsum  46365
  Copyright terms: Public domain W3C validator