Theorem mulgnn0cld 19219

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19214. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19214	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  Mndcmnd 18838  ._gcmg 19191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-seq 14068  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mulg 19192

This theorem is used by:  mulgnn0dir  19228  mhmmulg  19239  pwsmulg  19243  odmodnn0  19668  finodsubmsubg  19695  omndmul2  20261  omndmul3  20262  omndmul  20263  srgmulgass  20357  srgpcomp  20358  srgpcompp  20359  srgpcomppsc  20360  srgbinomlem1  20366  srgbinomlem2  20367  srgbinomlem4  20369  srgbinomlem  20370  pwsexpg  20470  lmodvsmmulgdi  21082  freshmansdream  21788  frobrhm  21789  assamulgscmlem2  22116  mplcoe5lem  22256  mplcoe5  22257  evlslem3  22297  evlsvvvallem  22308  evlsvvval  22310  evlsexpval  22345  selvvvval  22359  psdmul  22395  psdpw  22399  ply1moncl  22498  coe1pwmul  22506  ply1coefsupp  22523  ply1coe  22524  ply1chr  22532  gsummoncoe1  22534  lply1binomsc  22537  evl1expd  22571  evl1scvarpw  22589  evl1scvarpwval  22590  evl1gsummon  22591  evls1fpws  22595  rhmply1mon  22612  pmatcollpwscmatlem1  23015  mply1topmatcllem  23029  mply1topmatcl  23031  pm2mpghm  23042  monmat2matmon  23050  pm2mp  23051  chpscmatgsumbin  23070  chpscmatgsummon  23071  chfacfscmulcl  23083  chfacfscmul0  23084  chfacfpmmulcl  23087  chfacfpmmul0  23088  cpmadugsumlemB  23100  cpmadugsumlemC  23101  cpmadugsumlemF  23102  cayhamlem2  23110  cayhamlem4  23114  deg1pw  26348  plypf1  26439  lgsqrlem2  27581  lgsqrlem3  27582  lgsqrlem4  27583  isarchi2  33612  ringm1expp1  33660  rprmdvdspow  33930  ressply1evls1  33962  evl1deg1  33973  evl1deg2  33974  evl1deg3  33975  evls1monply1  33976  ply1coedeg  33986  gsummoncoe1fzo  33994  evlextv  34039  vietalem  34076  ply1degltdimlem  34119  ply1degltdim  34120  evls1fldgencl  34167  extdgfialglem1  34189  extdgfialglem2  34190  rtelextdg2lem  34223  2sqr3minply  34277  cos9thpiminplylem6  34284  cos9thpiminply  34285  primrootscoprmpow  42952  aks6d1c1p2  42962  aks6d1c1p3  42963  aks6d1c1p4  42964  aks6d1c1p5  42965  aks6d1c1  42969  aks6d1c2lem3  42979  aks6d1c2lem4  42980  aks6d1c5lem0  42988  aks6d1c5lem3  42990  aks6d1c5lem2  42991  aks6d1c5  42992  deg1pow  42994  aks6d1c6lem1  43023  aks6d1c6lem2  43024  aks5lem2  43040  aks5lem3a  43042  unitscyglem5  43052  domnexpgn0cl  43392  abvexp  43401  evlselv  43422  mhphflem  43429  mhphf  43430  hbtlem4  43954  lmodvsmdi  49296  ply1mulgsumlem4  49306  ply1mulgsum  49307