Theorem mulgnn0cld 19027

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19022. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19022	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19036  mhmmulg  19047  pwsmulg  19051  odmodnn0  19470  finodsubmsubg  19497  srgmulgass  20126  srgpcomp  20127  srgpcompp  20128  srgpcomppsc  20129  srgbinomlem1  20135  srgbinomlem2  20136  srgbinomlem4  20138  srgbinomlem  20139  pwsexpg  20238  lmodvsmmulgdi  20803  freshmansdream  21484  frobrhm  21485  assamulgscmlem2  21809  mplcoe5lem  21946  mplcoe5  21947  evlslem3  21987  psdmul  22053  psdpw  22057  ply1moncl  22157  coe1pwmul  22165  ply1coefsupp  22184  ply1coe  22185  ply1chr  22193  gsummoncoe1  22195  lply1binomsc  22198  evl1expd  22232  evl1scvarpw  22250  evl1scvarpwval  22251  evl1gsummon  22252  evls1fpws  22256  rhmply1mon  22276  pmatcollpwscmatlem1  22676  mply1topmatcllem  22690  mply1topmatcl  22692  pm2mpghm  22703  monmat2matmon  22711  pm2mp  22712  chpscmatgsumbin  22731  chpscmatgsummon  22732  chfacfscmulcl  22744  chfacfscmul0  22745  chfacfpmmulcl  22748  chfacfpmmul0  22749  cpmadugsumlemB  22761  cpmadugsumlemC  22762  cpmadugsumlemF  22763  cayhamlem2  22771  cayhamlem4  22775  deg1pw  26026  plypf1  26117  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgsqrlem4  27260  omndmul2  33026  omndmul3  33027  omndmul  33028  isarchi2  33139  rprmdvdspow  33504  ressply1evls1  33534  evl1deg1  33545  evl1deg2  33546  evl1deg3  33547  gsummoncoe1fzo  33563  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  evls1fldgencl  33665  rtelextdg2lem  33716  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  primrootscoprmpow  42087  aks6d1c1p2  42097  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c1p4  42099  aks6d1c1p5  42100  aks6d1c1  42104  aks6d1c2lem3  42114  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c5lem0  42123  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  aks6d1c5  42127  deg1pow  42129  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem2  42159  aks5lem2  42175  aks5lem3a  42177  unitscyglem5  42187  domnexpgn0cl  42511  abvexp  42520  evlsvvvallem  42549  evlsvvval  42551  evlsexpval  42555  selvvvval  42573  evlselv  42575  mhphflem  42584  mhphf  42585  hbtlem4  43115  lmodvsmdi  48367  ply1mulgsumlem4  48378  ply1mulgsum  48379