Theorem mulgnn0cld 19252

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19247. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19247	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℕ₀cn0 12561  Basecbs 17334  Mndcmnd 18870  ._gcmg 19224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-seq 14099  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mulg 19225

This theorem is used by:  mulgnn0dir  19261  mhmmulg  19272  pwsmulg  19276  odmodnn0  19701  finodsubmsubg  19728  omndmul2  20294  omndmul3  20295  omndmul  20296  srgmulgass  20390  srgpcomp  20391  srgpcompp  20392  srgpcomppsc  20393  srgbinomlem1  20399  srgbinomlem2  20400  srgbinomlem4  20402  srgbinomlem  20403  pwsexpg  20505  lmodvsmmulgdi  21119  freshmansdream  21827  frobrhm  21828  assamulgscmlem2  22155  mplcoe5lem  22295  mplcoe5  22296  evlslem3  22336  evlsvvvallem  22347  evlsvvval  22349  evlsexpval  22384  selvvvval  22398  psdmul  22434  psdpw  22438  ply1moncl  22537  coe1pwmul  22545  ply1coefsupp  22562  ply1coe  22563  ply1chr  22571  gsummoncoe1  22573  lply1binomsc  22576  evl1expd  22610  evl1scvarpw  22628  evl1scvarpwval  22629  evl1gsummon  22630  evls1fpws  22634  rhmply1mon  22651  pmatcollpwscmatlem1  23054  mply1topmatcllem  23068  mply1topmatcl  23070  pm2mpghm  23081  monmat2matmon  23089  pm2mp  23090  chpscmatgsumbin  23109  chpscmatgsummon  23110  chfacfscmulcl  23122  chfacfscmul0  23123  chfacfpmmulcl  23126  chfacfpmmul0  23127  cpmadugsumlemB  23139  cpmadugsumlemC  23140  cpmadugsumlemF  23141  cayhamlem2  23149  cayhamlem4  23153  deg1pw  26386  plypf1  26478  lgsqrlem2  27623  lgsqrlem3  27624  lgsqrlem4  27625  isarchi2  33665  ringm1expp1  33713  rprmdvdspow  33984  ressply1evls1  34016  evl1deg1  34027  evl1deg2  34028  evl1deg3  34029  evls1monply1  34030  ply1coedeg  34040  gsummoncoe1fzo  34048  evlextv  34093  vietalem  34130  ply1degltdimlem  34173  ply1degltdim  34174  evls1fldgencl  34221  extdgfialglem1  34243  extdgfialglem2  34244  rtelextdg2lem  34277  2sqr3minply  34331  cos9thpiminplylem6  34338  cos9thpiminply  34339  primrootscoprmpow  43063  aks6d1c1p2  43073  aks6d1c1p3  43074  aks6d1c1p4  43075  aks6d1c1p5  43076  aks6d1c1  43080  aks6d1c2lem3  43090  aks6d1c2lem4  43091  aks6d1c5lem0  43099  aks6d1c5lem3  43101  aks6d1c5lem2  43102  aks6d1c5  43103  deg1pow  43105  aks6d1c6lem1  43134  aks6d1c6lem2  43135  aks5lem2  43151  aks5lem3a  43153  unitscyglem5  43163  domnexpgn0cl  43503  abvexp  43512  evlselv  43533  mhphflem  43540  mhphf  43541  hbtlem4  44065  lmodvsmdi  49407  ply1mulgsumlem4  49417  ply1mulgsum  49418