Theorem mulgnn0cld 19027

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19022. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19022	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-seq 13927  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19036  mhmmulg  19047  pwsmulg  19051  odmodnn0  19471  finodsubmsubg  19498  omndmul2  20064  omndmul3  20065  omndmul  20066  srgmulgass  20154  srgpcomp  20155  srgpcompp  20156  srgpcomppsc  20157  srgbinomlem1  20163  srgbinomlem2  20164  srgbinomlem4  20166  srgbinomlem  20167  pwsexpg  20266  lmodvsmmulgdi  20850  freshmansdream  21531  frobrhm  21532  assamulgscmlem2  21858  mplcoe5lem  21996  mplcoe5  21997  evlslem3  22037  evlsvvvallem  22048  evlsvvval  22050  psdmul  22111  psdpw  22115  ply1moncl  22215  coe1pwmul  22223  ply1coefsupp  22243  ply1coe  22244  ply1chr  22252  gsummoncoe1  22254  lply1binomsc  22257  evl1expd  22291  evl1scvarpw  22309  evl1scvarpwval  22310  evl1gsummon  22311  evls1fpws  22315  rhmply1mon  22335  pmatcollpwscmatlem1  22735  mply1topmatcllem  22749  mply1topmatcl  22751  pm2mpghm  22762  monmat2matmon  22770  pm2mp  22771  chpscmatgsumbin  22790  chpscmatgsummon  22791  chfacfscmulcl  22803  chfacfscmul0  22804  chfacfpmmulcl  22807  chfacfpmmul0  22808  cpmadugsumlemB  22820  cpmadugsumlemC  22821  cpmadugsumlemF  22822  cayhamlem2  22830  cayhamlem4  22834  deg1pw  26084  plypf1  26175  lgsqrlem2  27316  lgsqrlem3  27317  lgsqrlem4  27318  isarchi2  33246  ringm1expp1  33295  rprmdvdspow  33593  ressply1evls1  33625  evl1deg1  33636  evl1deg2  33637  evl1deg3  33638  evls1monply1  33639  ply1coedeg  33649  gsummoncoe1fzo  33657  evlextv  33686  vietalem  33714  ply1degltdimlem  33758  ply1degltdim  33759  evls1fldgencl  33806  extdgfialglem1  33828  extdgfialglem2  33829  rtelextdg2lem  33862  2sqr3minply  33916  cos9thpiminplylem6  33923  cos9thpiminply  33924  primrootscoprmpow  42388  aks6d1c1p2  42398  aks6d1c1p3  42399  aks6d1c1p4  42400  aks6d1c1p5  42401  aks6d1c1  42405  aks6d1c2lem3  42415  aks6d1c2lem4  42416  aks6d1c5lem0  42424  aks6d1c5lem3  42426  aks6d1c5lem2  42427  aks6d1c5  42428  deg1pow  42430  aks6d1c6lem1  42459  aks6d1c6lem2  42460  aks5lem2  42476  aks5lem3a  42478  unitscyglem5  42488  domnexpgn0cl  42815  abvexp  42824  evlsexpval  42850  selvvvval  42865  evlselv  42867  mhphflem  42876  mhphf  42877  hbtlem4  43405  lmodvsmdi  48662  ply1mulgsumlem4  48672  ply1mulgsum  48673