Theorem mulgnn0cld 19331

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19326. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19326	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mulg 19304

This theorem is used by:  mulgnn0dir  19340  mhmmulg  19351  pwsmulg  19355  odmodnn0  19781  finodsubmsubg  19808  omndmul2  20374  omndmul3  20375  omndmul  20376  srgmulgass  20470  srgpcomp  20471  srgpcompp  20472  srgpcomppsc  20473  srgbinomlem1  20479  srgbinomlem2  20480  srgbinomlem4  20482  srgbinomlem  20483  pwsexpg  20585  lmodvsmmulgdi  21199  freshmansdream  21907  frobrhm  21908  assamulgscmlem2  22235  mplcoe5lem  22375  mplcoe5  22376  evlslem3  22416  evlsvvvallem  22427  evlsvvval  22429  evlsexpval  22464  selvvvval  22478  psdmul  22514  psdpw  22518  ply1moncl  22617  coe1pwmul  22625  ply1coefsupp  22642  ply1coe  22643  ply1chr  22651  gsummoncoe1  22653  lply1binomsc  22656  evl1expd  22690  evl1scvarpw  22708  evl1scvarpwval  22709  evl1gsummon  22710  evls1fpws  22714  rhmply1mon  22731  pmatcollpwscmatlem1  23134  mply1topmatcllem  23148  mply1topmatcl  23150  pm2mpghm  23161  monmat2matmon  23169  pm2mp  23170  chpscmatgsumbin  23189  chpscmatgsummon  23190  chfacfscmulcl  23202  chfacfscmul0  23203  chfacfpmmulcl  23206  chfacfpmmul0  23207  cpmadugsumlemB  23219  cpmadugsumlemC  23220  cpmadugsumlemF  23221  cayhamlem2  23229  cayhamlem4  23233  deg1pw  26466  plypf1  26558  lgsqrlem2  27701  lgsqrlem3  27702  lgsqrlem4  27703  isarchi2  33813  ringm1expp1  33861  rprmdvdspow  34132  ressply1evls1  34164  evl1deg1  34175  evl1deg2  34176  evl1deg3  34177  evls1monply1  34178  ply1coedeg  34188  gsummoncoe1fzo  34196  evlextv  34241  vietalem  34278  ply1degltdimlem  34321  ply1degltdim  34322  evls1fldgencl  34369  extdgfialglem1  34391  extdgfialglem2  34392  rtelextdg2lem  34425  2sqr3minply  34479  cos9thpiminplylem6  34486  cos9thpiminply  34487  primrootscoprmpow  43340  aks6d1c1p2  43350  aks6d1c1p3  43351  aks6d1c1p4  43352  aks6d1c1p5  43353  aks6d1c1  43357  aks6d1c2lem3  43367  aks6d1c2lem4  43368  aks6d1c5lem0  43376  aks6d1c5lem3  43378  aks6d1c5lem2  43379  aks6d1c5  43380  deg1pow  43382  aks6d1c6lem1  43411  aks6d1c6lem2  43412  aks5lem2  43428  aks5lem3a  43430  unitscyglem5  43440  domnexpgn0cl  43775  abvexp  43787  evlselv  43808  mhphflem  43815  mhphf  43816  hbtlem4  44318  lmodvsmdi  49694  ply1mulgsumlem4  49704  ply1mulgsum  49705