Theorem mulgnn0cld 19135

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19130. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mulg 19108

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19144  mhmmulg  19155  pwsmulg  19159  odmodnn0  19582  finodsubmsubg  19609  srgmulgass  20244  srgpcomp  20245  srgpcompp  20246  srgpcomppsc  20247  srgbinomlem1  20253  srgbinomlem2  20254  srgbinomlem4  20256  srgbinomlem  20257  pwsexpg  20352  lmodvsmmulgdi  20917  freshmansdream  21616  frobrhm  21617  assamulgscmlem2  21943  mplcoe5lem  22080  mplcoe5  22081  evlslem3  22127  psdmul  22193  ply1moncl  22295  coe1pwmul  22303  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  ply1chr  22331  gsummoncoe1  22333  lply1binomsc  22336  evl1expd  22370  evl1scvarpw  22388  evl1scvarpwval  22389  evl1gsummon  22390  evls1fpws  22394  rhmply1mon  22414  pmatcollpwscmatlem1  22816  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  pm2mpghm  22843  monmat2matmon  22851  pm2mp  22852  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  chfacfscmulcl  22884  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmulcl  22888  chfacfpmmul0  22889  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumlemC  22902  cpmadugsumlemF  22903  cayhamlem2  22911  cayhamlem4  22915  deg1pw  26180  plypf1  26271  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  omndmul2  33062  omndmul3  33063  omndmul  33064  isarchi2  33165  rprmdvdspow  33526  evl1deg1  33566  evl1deg2  33567  evl1deg3  33568  gsummoncoe1fzo  33583  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  evls1fldgencl  33680  rtelextdg2lem  33717  2sqr3minply  33738  primrootscoprmpow  42056  aks6d1c1p2  42066  aks6d1c1p3  42067  aks6d1c1p4  42068  aks6d1c1p5  42069  aks6d1c1  42073  aks6d1c2lem3  42083  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c5lem0  42092  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  aks6d1c5  42096  deg1pow  42098  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  aks5lem2  42144  aks5lem3a  42146  unitscyglem5  42156  domnexpgn0cl  42478  abvexp  42487  evlsvvvallem  42516  evlsvvval  42518  evlsexpval  42522  selvvvval  42540  evlselv  42542  mhphflem  42551  mhphf  42552  hbtlem4  43083  lmodvsmdi  48107  ply1mulgsumlem4  48118  ply1mulgsum  48119