Theorem mulgnn0cld 19089

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. Deduction associated with mulgnn0cl 19084. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0cld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0cld.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0cld.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mulgnn0cld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mulgnn0cld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cld	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnn0cld.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mulgnn0cld.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		mulgnn0cld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnn0cld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnn0cld.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 19084	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213  Mndcmnd 18727  ._gcmg 19061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mulg 19062

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  19098  mhmmulg  19109  pwsmulg  19113  odmodnn0  19538  finodsubmsubg  19565  srgmulgass  20200  srgpcomp  20201  srgpcompp  20202  srgpcomppsc  20203  srgbinomlem1  20209  srgbinomlem2  20210  srgbinomlem4  20212  srgbinomlem  20213  pwsexpg  20308  lmodvsmmulgdi  20873  freshmansdream  21572  assamulgscmlem2  21897  mplcoe5lem  22046  mplcoe5  22047  evlslem3  22095  psdmul  22160  ply1moncl  22262  coe1pwmul  22270  ply1coefsupp  22288  ply1coe  22289  ply1chr  22297  gsummoncoe1  22299  lply1binomsc  22302  evl1expd  22336  evl1scvarpw  22354  evl1scvarpwval  22355  evl1gsummon  22356  evls1fpws  22360  rhmply1mon  22380  pmatcollpwscmatlem1  22782  mply1topmatcllem  22796  mply1topmatcl  22798  pm2mpghm  22809  monmat2matmon  22817  pm2mp  22818  chpscmatgsumbin  22837  chpscmatgsummon  22838  chfacfscmulcl  22850  chfacfscmul0  22851  chfacfpmmulcl  22854  chfacfpmmul0  22855  cpmadugsumlemB  22867  cpmadugsumlemC  22868  cpmadugsumlemF  22869  cayhamlem2  22877  cayhamlem4  22881  deg1pw  26148  plypf1  26239  lgsqrlem2  27376  lgsqrlem3  27377  lgsqrlem4  27378  omndmul2  32947  omndmul3  32948  omndmul  32949  isarchi2  33050  frobrhm  33098  rprmdvdspow  33408  evl1deg1  33448  evl1deg2  33449  evl1deg3  33450  gsummoncoe1fzo  33465  ply1degltdimlem  33517  ply1degltdim  33518  evls1fldgencl  33556  rtelextdg2lem  33604  2sqr3minply  33607  primrootscoprmpow  41797  aks6d1c1p2  41807  aks6d1c1p3  41808  aks6d1c1p4  41809  aks6d1c1p5  41810  aks6d1c1  41814  aks6d1c2lem3  41824  aks6d1c2lem4  41825  aks6d1c5lem0  41833  aks6d1c5lem3  41835  aks6d1c5lem2  41836  aks6d1c5  41837  deg1pow  41839  aks6d1c6lem1  41868  aks6d1c6lem2  41869  aks5lem2  41885  aks5lem3a  41887  evlsvvvallem  42033  evlsvvval  42035  evlsexpval  42039  selvvvval  42057  evlselv  42059  mhphflem  42068  mhphf  42069  hbtlem4  42787  lmodvsmdi  47761  ply1mulgsumlem4  47772  ply1mulgsum  47773