Theorem mulgcl 19067

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
5		ssidd 3945	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	grpcl 18917	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	grpidcl 18941	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		eqid 2736	. 2 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	1, 9	grpinvcl 18963	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mulgsubcl 19064	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  ._gcmg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044

This theorem is referenced by:  mulgneg  19068  mulgnegneg  19069  mulgcld  19072  mulgaddcomlem  19073  mulgaddcom  19074  mulginvcom  19075  mulgdirlem  19081  mulgdir  19082  mulgass  19087  mulgmodid  19089  mulgsubdir  19090  cycsubgcl  19181  ghmmulg  19203  odmod  19521  odcong  19524  odmulgid  19529  odmulg  19531  odmulgeq  19532  odbezout  19533  odf1  19537  dfod2  19539  odf1o2  19548  gexdvds  19559  mulgdi  19801  mulgghm  19803  mulgsubdi  19804  odadd2  19824  gexexlem  19827  iscyggen2  19856  cyggenod  19859  iscyg3  19861  ablfacrp  20043  pgpfac1lem2  20052  pgpfac1lem3a  20053  pgpfac1lem3  20054  pgpfac1lem4  20055  mulgass2  20290  mulgghm2  21456  mulgrhm  21457  zlmlmod  21502  cygznlem2a  21547  freshmansdream  21554  isarchi3  33248  archirng  33249  archirngz  33250  archiabllem1a  33252  archiabllem2c  33256  isarchiofld  33260