Theorem stoweidlem10 46122

Description: Lemma for stoweid 46175. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90, this lemma is an application of Bernoulli's inequality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem10	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem stoweidlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 1)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		1red 11123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	lenegd 11706	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ -1 ≤ -𝐴))
8	4, 7	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
9	8	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
10		bernneq 14146	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ -𝐴) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
12		recn 11106	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		nn0cn 12401	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		1cnd 11117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
17		mulneg1 11563	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑁) = -(𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
21		mulcl 11100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
22	21	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 11488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + -(𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝐴 · 𝑁)))
24		mulcom 11102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
25	24	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
26	25	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
27	19, 23, 26	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
28	13, 15, 16, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
29		1cnd 11117	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
30	29, 12	negsubd 11488	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
31	30	oveq1d 7370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
32	31	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
33	11, 28, 32	3brtr3d 5126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   ≤ cle 11157   − cmin 11354  -cneg 11355  ℕ₀cn0 12391  ↑cexp 13978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-seq 13919  df-exp 13979

This theorem is referenced by:  stoweidlem24  46136