Theorem stoweidlem10 45026

Description: Lemma for stoweid 45079. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90, this lemma is an application of Bernoulli's inequality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem10	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem stoweidlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 1)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		1red 11220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	lenegd 11798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ -1 ≤ -𝐴))
8	4, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
9	8	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
10		bernneq 14197	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ -𝐴) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
12		recn 11203	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		nn0cn 12487	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		1cnd 11214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
17		mulneg1 11655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑁) = -(𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
19	18	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
20		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
21		mulcl 11197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
22	21	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 11582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + -(𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝐴 · 𝑁)))
24		mulcom 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
25	24	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
26	25	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
27	19, 23, 26	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
28	13, 15, 16, 27	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
29		1cnd 11214	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
30	29, 12	negsubd 11582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
31	30	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
32	31	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
33	11, 28, 32	3brtr3d 5180	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   ≤ cle 11254   − cmin 11449  -cneg 11450  ℕ₀cn0 12477  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  stoweidlem24  45040