Theorem stoweidlem10 45398

Description: Lemma for stoweid 45451. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90, this lemma is an application of Bernoulli's inequality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem10	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem stoweidlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11553	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ≤ 1)
5		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		1red 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	lenegd 11823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ -1 ≤ -𝐴))
8	4, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
9	8	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → -1 ≤ -𝐴)
10		bernneq 14223	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ -𝐴) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
11	2, 3, 9, 10	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) ≤ ((1 + -𝐴)↑𝑁))
12		recn 11228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		nn0cn 12512	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		1cnd 11239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
17		mulneg1 11680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝑁) = -(𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
19	18	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 + -(𝐴 · 𝑁)))
20		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
21		mulcl 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
22	21	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ)
23	20, 22	negsubd 11607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + -(𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝐴 · 𝑁)))
24		mulcom 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
25	24	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
26	25	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − (𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
27	19, 23, 26	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
28	13, 15, 16, 27	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 + (-𝐴 · 𝑁)) = (1 − (𝑁 · 𝐴)))
29		1cnd 11239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
30	29, 12	negsubd 11607	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
31	30	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
32	31	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((1 + -𝐴)↑𝑁) = ((1 − 𝐴)↑𝑁))
33	11, 28, 32	3brtr3d 5179	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (1 − (𝑁 · 𝐴)) ≤ ((1 − 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   ≤ cle 11279   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕ₀cn0 12502  ↑cexp 14058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059

This theorem is referenced by:  stoweidlem24  45412