MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modcyc2 13270
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 10616 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 rpcn 12387 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
3 zcn 11974 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4 mulneg1 11065 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
54ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
6 mulcom 10612 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
76negeqd 10869 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
85, 7eqtr4d 2860 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
983adant1 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
109oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) = (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)))
11 mulcl 10610 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ)
12 negsub 10923 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
1311, 12sylan2 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
14133impb 1112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
1510, 14eqtr2d 2858 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
161, 2, 3, 15syl3an 1157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
1716oveq1d 7155 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵))
18 znegcl 12005 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
19 modcyc 13269 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
2018, 19syl3an3 1162 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
2117, 20eqtrd 2857 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860  cz 11969  +crp 12377   mod cmo 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233
This theorem is referenced by:  modadd1  13271  modmul1  13287  2submod  13295  modsubdir  13303
  Copyright terms: Public domain W3C validator