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Theorem tanval3 15325
Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanval3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10447 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 mulcl 10472 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 efcl 15274 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7 negicn 10739 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
8 mulcl 10472 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
97, 2, 8sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 efcl 15274 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
126, 11subcld 10850 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
136, 11addcld 10511 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 mulcl 10472 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
151, 13, 14sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16 2z 11868 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
17 efexp 15292 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
184, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
196sqvald 13362 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
2018, 19eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21 mulneg1 10929 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
221, 2, 21sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
2322fveq2d 6547 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
2423oveq2d 7037 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25 efcan 15287 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
264, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
2724, 26eqtr2d 2832 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
2820, 27oveq12d 7039 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
296, 6, 11adddid 10516 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
3028, 29eqtr4d 2834 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
3130oveq2d 7037 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
321a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
3332, 6, 13mul12d 10701 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
3431, 33eqtrd 2831 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35 2cn 11565 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
36 mulcl 10472 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3735, 4, 36sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38 efcl 15274 . . . . . . . 8 ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40 ax-1cn 10446 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
41 addcl 10470 . . . . . . 7 (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43 ine0 10928 . . . . . . 7 i ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ≠ 0)
45 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0)
4632, 42, 44, 45mulne0d 11145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) ≠ 0)
4734, 46eqnetrrd 3052 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) ≠ 0)
486, 15, 47mulne0bbd 11149 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ≠ 0)
49 efne0 15288 . . . 4 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
504, 49syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
5112, 15, 6, 48, 50divcan5d 11295 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
5220, 27oveq12d 7039 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
536, 6, 11subdid 10949 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
5452, 53eqtr4d 2834 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
5554, 34oveq12d 7039 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56 cosval 15314 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
5756adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58 2cnd 11568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
5932, 13, 48mulne0bbd 11149 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0)
60 2ne0 11594 . . . . . 6 2 ≠ 0
6160a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
6213, 58, 59, 61divne0d 11285 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0)
6357, 62eqnetrd 3051 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
64 tanval2 15324 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6563, 64syldan 591 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
6651, 55, 653eqtr4rd 2842 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cfv 6230  (class class class)co 7021  cc 10386  0cc0 10388  1c1 10389  ici 10390   + caddc 10391   · cmul 10393  cmin 10722  -cneg 10723   / cdiv 11150  2c2 11545  cz 11834  cexp 13284  expce 15253  cosccos 15256  tanctan 15257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-ico 12599  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-fac 13489  df-bc 13518  df-hash 13546  df-shft 14265  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-limsup 14667  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-ef 15259  df-sin 15261  df-cos 15262  df-tan 15263
This theorem is referenced by:  tanarg  24888  tanatan  25183
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