Theorem tanval3 16171

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanval3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11215	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11240	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 16119	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 11510	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 11240	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 2, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 16119	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 11621	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11	addcld 11281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		mulcl 11240	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
15	1, 13, 14	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16		2z 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		efexp 16138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
18	4, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
19	6	sqvald 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
20	18, 19	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21		mulneg1 11700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
22	1, 2, 21	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (-i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
23	22	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
24	23	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))))
25		efcan 16133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘-(i · 𝐴))) = 1)
27	24, 26	eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
28	20, 27	oveq12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
29	6, 6, 11	adddid 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
30	28, 29	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
31	30	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
33	32, 6, 13	mul12d 11471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
34	31, 33	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
35		2cn 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		mulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	35, 4, 36	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38		efcl 16119	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40		ax-1cn 11214	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addcl 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43		ine0 11699	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ≠ 0)
45		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0)
46	32, 42, 44, 45	mulne0d 11916	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) ≠ 0)
47	34, 46	eqnetrrd 3008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) ≠ 0)
48	6, 15, 47	mulne0bbd 11920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ≠ 0)
49		efne0 16134	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
50	4, 49	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
51	12, 15, 6, 48, 50	divcan5d 12070	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
52	20, 27	oveq12d 7450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
53	6, 6, 11	subdid 11720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴)))))
54	52, 53	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))))
55	54, 34	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))))
56		cosval 16160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
58		2cnd 12345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
59	32, 13, 48	mulne0bbd 11920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ≠ 0)
60		2ne0 12371	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
62	13, 58, 59, 61	divne0d 12060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) ≠ 0)
63	57, 62	eqnetrd 3007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
64		tanval2 16170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
65	63, 64	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
66	51, 55, 65	3eqtr4rd 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℤcz 12615  ↑cexp 14103  expce 16098  cosccos 16101  tanctan 16102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108

This theorem is referenced by:  tanarg  26662  tanatan  26963