Theorem tanval3 16346

Description: Express the tangent function directly in terms of exp. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanval3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

Proof of Theorem tanval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11298	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 16292	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 11597	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 2, 8	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 16292	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 11708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11	addcld 11367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		mulcl 11323	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
15	1, 13, 14	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
16		2z 12768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		efexp 16313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
18	4, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑2))
19	6	sqvald 14326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
20	18, 19	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
21		mulneg1 11791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
22	1, 2, 21	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ( -i · 𝐴) = -(i · 𝐴))
23	22	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘( -i · 𝐴)) = (exp‘ -(i · 𝐴)))
24	23	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘ -(i · 𝐴))))
25		efcan 16306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘ -(i · 𝐴))) = 1)
26	4, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘ -(i · 𝐴))) = 1)
27	24, 26	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 1 = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴))))
28	20, 27	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴)))))
29	6, 6, 11	adddid 11372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴)))))
30	28, 29	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))))
31	30	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
32	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
33	32, 6, 13	mul12d 11558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
34	31, 33	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
35		2cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		mulcl 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	35, 4, 36	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
38		efcl 16292	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
40		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addcl 11321	. . . . . . 7 ⊢ (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
42	39, 40, 41	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ∈ ℂ)
43		ine0 11790	. . . . . . 7 ⊢ i ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → i ≠ 0)
45		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0)
46	32, 42, 44, 45	mulne0d 12008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1)) ≠ 0)
47	34, 46	eqnetrrd 3027	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))) ≠ 0)
48	6, 15, 47	mulne0bbd 12012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))) ≠ 0)
49		efne0 16308	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
50	4, 49	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (exp‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
51	12, 15, 6, 48, 50	divcan5d 12159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
52	20, 27	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴)))))
53	6, 6, 11	subdid 11811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘( -i · 𝐴)))))
54	52, 53	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) = ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))))
55	54, 34	oveq12d 7469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴)))))))
56		cosval 16335	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
57	56	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
58		2cnd 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
59	32, 13, 48	mulne0bbd 12012	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ≠ 0)
60		2ne0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
62	13, 58, 59, 61	divne0d 12149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) ≠ 0)
63	57, 62	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
64		tanval2 16345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
65	63, 64	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (i · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))))
66	51, 55, 65	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = (((exp‘(2 · (i · 𝐴))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · 𝐴))) + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ℤcz 12733  ↑cexp 14244  expce 16271  cosccos 16274  tanctan 16275

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281

This theorem is used by:  tanarg  27004  tanatan  27304