Theorem rmxdioph 43468

Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmxdioph

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2))
2		elmapi 8793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
3		df-3 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		ssid 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
5	3, 4	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
6		2nn 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (1...2)
8	5, 7	sselii 3919	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...3)
9		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
10	2, 8, 9	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
12		3nn 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
13	12	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
14		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
15	2, 13, 14	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
17		rmxdiophlem 43467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
19	18	pm5.32da 584	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))))
20		anass 469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
21	20	rexbii 3087	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
22		r19.42v 3172	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
23	21, 22	bitr2i 277	. . . 4 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))
24	19, 23	bitrdi 288	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
25	24	rabbiia 3396	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)}
26		3nn0 12453	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
28	27	resex 5988	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ↾ (1...3)) ∈ V
29		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑐‘4) ∈ V
30		df-2 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
31	30, 5	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
32		1nn 12183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...1)
34	31, 33	sselii 3919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1...3)
35	34	jm2.27dlem1 43461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑐‘1))
36	35	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
38		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → 𝑏 = (𝑐‘4))
39	8	jm2.27dlem1 43461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑐‘2))
40	35, 39	oveq12d 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
42	38, 41	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
43	37, 42	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
44	13	jm2.27dlem1 43461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑐‘3))
45	44	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
47	35	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑐‘1)↑2))
48	47	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑐‘1)↑2) − 1))
49		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑐‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑐‘4)↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2)) = ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))
51	46, 50	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))))
52	51	eqeq1d 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
53	43, 52	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)))
54	28, 29, 53	sbc2ie 3805	. . . . 5 ⊢ ([(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
55	54	rabbii 3397	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)}
56		4nn0 12454	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
57		rmydioph 43466	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
58		simp1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑐‘1))
59	58	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
60		simp3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑐‘4))
61		simp2 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑐‘2))
62	58, 61	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
63	60, 62	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
64	59, 63	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
65		df-4 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
66		ssid 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...4) ⊆ (1...4)
67	65, 66	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...4)
68	3, 67	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...4)
69	30, 68	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) ⊆ (1...4)
70	69, 33	sselii 3919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...4)
71	68, 7	sselii 3919	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...4)
72		4nn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
73	72	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ (1...4)
74	64, 70, 71, 73	rabren3dioph 43267	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4))
75	56, 57, 74	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4)
76		ovex 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...4) ∈ V
77	67, 13	sselii 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...4)
78		mzpproj 43193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
79	76, 77, 78	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
80		2nn0 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
81		mzpexpmpt 43201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
82	79, 80, 81	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
83		mzpproj 43193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
84	76, 70, 83	mp2an 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
85		mzpexpmpt 43201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
86	84, 80, 85	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
87		1z 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
88		mzpconstmpt 43196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
89	76, 87, 88	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))
90		mzpsubmpt 43199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
91	86, 89, 90	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
92		mzpproj 43193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
93	76, 73, 92	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
94		mzpexpmpt 43201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
95	93, 80, 94	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
96		mzpmulmpt 43198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
97	91, 95, 96	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
98		mzpsubmpt 43199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
99	82, 97, 98	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
100		eqrabdioph 43233	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4))
101	56, 99, 89, 100	mp3an 1469	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)
102		anrabdioph 43236	. . . . 5 ⊢ (({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4) ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4))
103	75, 101, 102	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
104	55, 103	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
105	65	rexfrabdioph 43247	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
106	26, 104, 105	mp2an 698	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
107	25, 106	eqeltri 2836	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432  [wsbc 3730   ↦ cmpt 5160   ↾ cres 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  1c1 11037   · cmul 11041   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  mzPolycmzp 43178  Diophcdioph 43211   X_rm crmx 43352   Y_rm crmy 43353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-numer 16703  df-denom 16704  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-mzpcl 43179  df-mzp 43180  df-dioph 43212  df-squarenn 43293  df-pell1qr 43294  df-pell14qr 43295  df-pell1234qr 43296  df-pellfund 43297  df-rmx 43354  df-rmy 43355

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  43474