Theorem rmxdioph 43028

Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmxdioph

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2))
2		elmapi 8889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
3		df-3 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		ssid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
5	3, 4	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
6		2nn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (1...2)
8	5, 7	sselii 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...3)
9		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
10	2, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
12		3nn 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
13	12	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
14		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
15	2, 13, 14	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
17		rmxdiophlem 43027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
19	18	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))))
20		anass 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
21	20	rexbii 3094	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
22		r19.42v 3191	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
23	21, 22	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))
24	19, 23	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
25	24	rabbiia 3440	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)}
26		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27		vex 3484	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
28	27	resex 6047	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ↾ (1...3)) ∈ V
29		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑐‘4) ∈ V
30		df-2 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
31	30, 5	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
32		1nn 12277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...1)
34	31, 33	sselii 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1...3)
35	34	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑐‘1))
36	35	eleq1d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
38		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → 𝑏 = (𝑐‘4))
39	8	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑐‘2))
40	35, 39	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
42	38, 41	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
43	37, 42	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
44	13	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑐‘3))
45	44	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
47	35	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑐‘1)↑2))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑐‘1)↑2) − 1))
49		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑐‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑐‘4)↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2)) = ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))
51	46, 50	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))))
52	51	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
53	43, 52	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)))
54	28, 29, 53	sbc2ie 3866	. . . . 5 ⊢ ([(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
55	54	rabbii 3442	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)}
56		4nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
57		rmydioph 43026	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
58		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑐‘1))
59	58	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
60		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑐‘4))
61		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑐‘2))
62	58, 61	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
63	60, 62	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
64	59, 63	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
65		df-4 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
66		ssid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...4) ⊆ (1...4)
67	65, 66	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...4)
68	3, 67	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...4)
69	30, 68	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) ⊆ (1...4)
70	69, 33	sselii 3980	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...4)
71	68, 7	sselii 3980	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...4)
72		4nn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
73	72	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ (1...4)
74	64, 70, 71, 73	rabren3dioph 42826	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4))
75	56, 57, 74	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4)
76		ovex 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...4) ∈ V
77	67, 13	sselii 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...4)
78		mzpproj 42748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
79	76, 77, 78	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
80		2nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
81		mzpexpmpt 42756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
82	79, 80, 81	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
83		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
84	76, 70, 83	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
85		mzpexpmpt 42756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
86	84, 80, 85	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
87		1z 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
88		mzpconstmpt 42751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
89	76, 87, 88	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))
90		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
91	86, 89, 90	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
92		mzpproj 42748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
93	76, 73, 92	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
94		mzpexpmpt 42756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
95	93, 80, 94	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
96		mzpmulmpt 42753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
97	91, 95, 96	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
98		mzpsubmpt 42754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
99	82, 97, 98	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
100		eqrabdioph 42788	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4))
101	56, 99, 89, 100	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)
102		anrabdioph 42791	. . . . 5 ⊢ (({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4) ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4))
103	75, 101, 102	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
104	55, 103	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
105	65	rexfrabdioph 42806	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
106	26, 104, 105	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
107	25, 106	eqeltri 2837	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  [wsbc 3788   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  1c1 11156   · cmul 11160   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  mzPolycmzp 42733  Diophcdioph 42766   X_rm crmx 42911   Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735  df-dioph 42767  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  43034