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Theorem rmxdioph 42333
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 elmapi 8845 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0)
3 df-3 12280 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
4 ssid 3999 . . . . . . . . . 10 (1...3) βŠ† (1...3)
53, 4jm2.27dlem5 42330 . . . . . . . . 9 (1...2) βŠ† (1...3)
6 2nn 12289 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
76jm2.27dlem3 42328 . . . . . . . . 9 2 ∈ (1...2)
85, 7sselii 3974 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...3)
9 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0 ∧ 2 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0)
102, 8, 9sylancl 585 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0)
12 3nn 12295 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•
1312jm2.27dlem3 42328 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
14 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0 ∧ 3 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜3) ∈ β„•0)
152, 13, 14sylancl 585 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜3) ∈ β„•0)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (π‘Žβ€˜3) ∈ β„•0)
17 rmxdiophlem 42332 . . . . . 6 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0 ∧ (π‘Žβ€˜3) ∈ β„•0) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
181, 11, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
1918pm5.32da 578 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1))))
20 anass 468 . . . . . 6 ((((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
2120rexbii 3088 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
22 r19.42v 3184 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ β„•0 ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
2321, 22bitr2i 276 . . . 4 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1))
2419, 23bitrdi 287 . . 3 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)))
2524rabbiia 3430 . 2 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2)))} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)}
26 3nn0 12494 . . 3 3 ∈ β„•0
27 vex 3472 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
2827resex 6023 . . . . . 6 (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∈ V
29 fvex 6898 . . . . . 6 (π‘β€˜4) ∈ V
30 df-2 12279 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3130, 5jm2.27dlem5 42330 . . . . . . . . . . . 12 (1...1) βŠ† (1...3)
32 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•
3332jm2.27dlem3 42328 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...1)
3431, 33sselii 3974 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1...3)
3534jm2.27dlem1 42326 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜1) = (π‘β€˜1))
3635eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
38 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ 𝑏 = (π‘β€˜4))
398jm2.27dlem1 42326 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜2) = (π‘β€˜2))
4035, 39oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))
4238, 41eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ (𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))))
4337, 42anbi12d 630 . . . . . . 7 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))))
4413jm2.27dlem1 42326 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜3) = (π‘β€˜3))
4544oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜3)↑2) = ((π‘β€˜3)↑2))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘Žβ€˜3)↑2) = ((π‘β€˜3)↑2))
4735oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜1)↑2) = ((π‘β€˜1)↑2))
4847oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) = (((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1))
49 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (π‘β€˜4) β†’ (𝑏↑2) = ((π‘β€˜4)↑2))
5048, 49oveqan12d 7424 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2)) = ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2)))
5146, 50oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))))
5251eqeq1d 2728 . . . . . . 7 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1))
5343, 52anbi12d 630 . . . . . 6 ((π‘Ž = (𝑐 β†Ύ (1...3)) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜4)) β†’ ((((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ∧ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1)))
5428, 29, 53sbc2ie 3855 . . . . 5 ([(𝑐 β†Ύ (1...3)) / π‘Ž][(π‘β€˜4) / 𝑏](((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ∧ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1))
5554rabbii 3432 . . . 4 {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 β†Ύ (1...3)) / π‘Ž][(π‘β€˜4) / 𝑏](((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ∧ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1)}
56 4nn0 12495 . . . . . 6 4 ∈ β„•0
57 rmydioph 42331 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)
58 simp1 1133 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ (π‘β€˜1) = (π‘β€˜1))
5958eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
60 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4))
61 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2))
6258, 61oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))
6360, 62eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ ((π‘β€˜3) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)) ↔ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))))
6459, 63anbi12d 630 . . . . . . 7 (((π‘β€˜1) = (π‘β€˜1) ∧ (π‘β€˜2) = (π‘β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = (π‘β€˜4)) β†’ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ↔ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))))
65 df-4 12281 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
66 ssid 3999 . . . . . . . . . . 11 (1...4) βŠ† (1...4)
6765, 66jm2.27dlem5 42330 . . . . . . . . . 10 (1...3) βŠ† (1...4)
683, 67jm2.27dlem5 42330 . . . . . . . . 9 (1...2) βŠ† (1...4)
6930, 68jm2.27dlem5 42330 . . . . . . . 8 (1...1) βŠ† (1...4)
7069, 33sselii 3974 . . . . . . 7 1 ∈ (1...4)
7168, 7sselii 3974 . . . . . . 7 2 ∈ (1...4)
72 4nn 12299 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
7372jm2.27dlem3 42328 . . . . . . 7 4 ∈ (1...4)
7464, 70, 71, 73rabren3dioph 42131 . . . . . 6 ((4 ∈ β„•0 ∧ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜3) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜4))
7556, 57, 74mp2an 689 . . . . 5 {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜4)
76 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (1...4) ∈ V
7767, 13sselii 3974 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...4)
78 mzpproj 42053 . . . . . . . . 9 (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
7976, 77, 78mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
80 2nn0 12493 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
81 mzpexpmpt 42061 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜3)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
8279, 80, 81mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜3)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
83 mzpproj 42053 . . . . . . . . . . 11 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
8476, 70, 83mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
85 mzpexpmpt 42061 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜1)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
8684, 80, 85mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜1)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
87 1z 12596 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
88 mzpconstmpt 42056 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
8976, 87, 88mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
90 mzpsubmpt 42059 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜1)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
9186, 89, 90mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
92 mzpproj 42053 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜4)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
9376, 73, 92mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜4)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
94 mzpexpmpt 42061 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (π‘β€˜4)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜4)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
9593, 80, 94mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜4)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
96 mzpmulmpt 42058 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜4)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
9791, 95, 96mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
98 mzpsubmpt 42059 . . . . . . 7 (((𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((π‘β€˜3)↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))) β†’ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2)))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)))
9982, 97, 98mp2an 689 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2)))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))
100 eqrabdioph 42093 . . . . . 6 ((4 ∈ β„•0 ∧ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2)))) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (β„€ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...4))) β†’ {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1} ∈ (Diophβ€˜4))
10156, 99, 89, 100mp3an 1457 . . . . 5 {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1} ∈ (Diophβ€˜4)
102 anrabdioph 42096 . . . . 5 (({𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ ((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜4) ∧ {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1} ∈ (Diophβ€˜4)) β†’ {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ∧ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜4))
10375, 101, 102mp2an 689 . . . 4 {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ (((π‘β€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘β€˜4) = ((π‘β€˜1) Yrm (π‘β€˜2))) ∧ (((π‘β€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘β€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· ((π‘β€˜4)↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜4)
10455, 103eqeltri 2823 . . 3 {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 β†Ύ (1...3)) / π‘Ž][(π‘β€˜4) / 𝑏](((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜4)
10565rexfrabdioph 42111 . . 3 ((3 ∈ β„•0 ∧ {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 β†Ύ (1...3)) / π‘Ž][(π‘β€˜4) / 𝑏](((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜4)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3))
10626, 104, 105mp2an 689 . 2 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ β„•0 (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 = ((π‘Žβ€˜1) Yrm (π‘Žβ€˜2))) ∧ (((π‘Žβ€˜3)↑2) βˆ’ ((((π‘Žβ€˜1)↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3)
10725, 106eqeltri 2823 1 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1) Xrm (π‘Žβ€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  [wsbc 3772   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  1c1 11113   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  mzPolycmzp 42038  Diophcdioph 42071   Xrm crmx 42216   Yrm crmy 42217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-mzpcl 42039  df-mzp 42040  df-dioph 42072  df-squarenn 42157  df-pell1qr 42158  df-pell14qr 42159  df-pell1234qr 42160  df-pellfund 42161  df-rmx 42218  df-rmy 42219
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  42339
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