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Theorem rmxdioph 41101
Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
2 elmapi 8708 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
3 df-3 12138 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
4 ssid 3954 . . . . . . . . . 10 (1...3) ⊆ (1...3)
53, 4jm2.27dlem5 41098 . . . . . . . . 9 (1...2) ⊆ (1...3)
6 2nn 12147 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
76jm2.27dlem3 41096 . . . . . . . . 9 2 ∈ (1...2)
85, 7sselii 3929 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...3)
9 ffvelcdm 7015 . . . . . . . 8 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
102, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
12 3nn 12153 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
1312jm2.27dlem3 41096 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
14 ffvelcdm 7015 . . . . . . . 8 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
152, 13, 14sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
17 rmxdiophlem 41100 . . . . . 6 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
181, 11, 16, 17syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
1918pm5.32da 579 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))))
20 anass 469 . . . . . 6 ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2120rexbii 3093 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
22 r19.42v 3183 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2321, 22bitr2i 275 . . . 4 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))
2419, 23bitrdi 286 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2524rabbiia 3407 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)}
26 3nn0 12352 . . 3 3 ∈ ℕ0
27 vex 3445 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
2827resex 5971 . . . . . 6 (𝑐 ↾ (1...3)) ∈ V
29 fvex 6838 . . . . . 6 (𝑐‘4) ∈ V
30 df-2 12137 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3130, 5jm2.27dlem5 41098 . . . . . . . . . . . 12 (1...1) ⊆ (1...3)
32 1nn 12085 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
3332jm2.27dlem3 41096 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...1)
3431, 33sselii 3929 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1...3)
3534jm2.27dlem1 41094 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑐‘1))
3635eleq1d 2821 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
3736adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
38 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → 𝑏 = (𝑐‘4))
398jm2.27dlem1 41094 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑐‘2))
4035, 39oveq12d 7355 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
4238, 41eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
4337, 42anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
4413jm2.27dlem1 41094 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑐‘3))
4544oveq1d 7352 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
4735oveq1d 7352 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑐‘1)↑2))
4847oveq1d 7352 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑐‘1)↑2) − 1))
49 oveq1 7344 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑐‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑐‘4)↑2))
5048, 49oveqan12d 7356 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2)) = ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))
5146, 50oveq12d 7355 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))))
5251eqeq1d 2738 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
5343, 52anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)))
5428, 29, 53sbc2ie 3810 . . . . 5 ([(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
5554rabbii 3409 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)}
56 4nn0 12353 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
57 rmydioph 41099 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
58 simp1 1135 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑐‘1))
5958eleq1d 2821 . . . . . . . 8 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
60 simp3 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑐‘4))
61 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑐‘2))
6258, 61oveq12d 7355 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
6360, 62eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
6459, 63anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
65 df-4 12139 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
66 ssid 3954 . . . . . . . . . . 11 (1...4) ⊆ (1...4)
6765, 66jm2.27dlem5 41098 . . . . . . . . . 10 (1...3) ⊆ (1...4)
683, 67jm2.27dlem5 41098 . . . . . . . . 9 (1...2) ⊆ (1...4)
6930, 68jm2.27dlem5 41098 . . . . . . . 8 (1...1) ⊆ (1...4)
7069, 33sselii 3929 . . . . . . 7 1 ∈ (1...4)
7168, 7sselii 3929 . . . . . . 7 2 ∈ (1...4)
72 4nn 12157 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7372jm2.27dlem3 41096 . . . . . . 7 4 ∈ (1...4)
7464, 70, 71, 73rabren3dioph 40899 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4))
7556, 57, 74mp2an 689 . . . . 5 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4)
76 ovex 7370 . . . . . . . . 9 (1...4) ∈ V
7767, 13sselii 3929 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...4)
78 mzpproj 40821 . . . . . . . . 9 (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
7976, 77, 78mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
80 2nn0 12351 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
81 mzpexpmpt 40829 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8279, 80, 81mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
83 mzpproj 40821 . . . . . . . . . . 11 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8476, 70, 83mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
85 mzpexpmpt 40829 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8684, 80, 85mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
87 1z 12451 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
88 mzpconstmpt 40824 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8976, 87, 88mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))
90 mzpsubmpt 40827 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9186, 89, 90mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
92 mzpproj 40821 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9376, 73, 92mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
94 mzpexpmpt 40829 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9593, 80, 94mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
96 mzpmulmpt 40826 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9791, 95, 96mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
98 mzpsubmpt 40827 . . . . . . 7 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9982, 97, 98mp2an 689 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
100 eqrabdioph 40861 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ0 ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4))
10156, 99, 89, 100mp3an 1460 . . . . 5 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)
102 anrabdioph 40864 . . . . 5 (({𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4) ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4))
10375, 101, 102mp2an 689 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
10455, 103eqeltri 2833 . . 3 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
10565rexfrabdioph 40879 . . 3 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
10626, 104, 105mp2an 689 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
10725, 106eqeltri 2833 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  [wsbc 3727  cmpt 5175  cres 5622  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  1c1 10973   · cmul 10977  cmin 11306  2c2 12129  3c3 12130  4c4 12131  0cn0 12334  cz 12420  cuz 12683  ...cfz 13340  cexp 13883  mzPolycmzp 40806  Diophcdioph 40839   Xrm crmx 40984   Yrm crmy 40985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-omul 8372  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-numer 16536  df-denom 16537  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-log 25818  df-mzpcl 40807  df-mzp 40808  df-dioph 40840  df-squarenn 40925  df-pell1qr 40926  df-pell14qr 40927  df-pell1234qr 40928  df-pellfund 40929  df-rmx 40986  df-rmy 40987
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  41107
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