Theorem rmxdioph 43553

Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmxdioph

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2))
2		elmapi 8823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
3		df-3 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = (2 + 1)
4		ssid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
5	3, 4	jm2.27dlem5 43550	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
6		2nn 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	jm2.27dlem3 43548	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ (1...2)
8	5, 7	sselii 3931	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...3)
9		ffvelcdm 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
10	2, 8, 9	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
12		3nn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
13	12	jm2.27dlem3 43548	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
14		ffvelcdm 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
15	2, 13, 14	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
17		rmxdiophlem 43552	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
19	18	pm5.32da 587	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))))
20		anass 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
21	20	rexbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
22		r19.42v 3193	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
23	21, 22	bitr2i 278	. . . 4 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))
24	19, 23	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
25	24	rabbiia 3417	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)}
26		3nn0 12492	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
27		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑐 ∈ V
28	27	resex 6011	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ↾ (1...3)) ∈ V
29		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑐‘4) ∈ V
30		df-2 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (1 + 1)
31	30, 5	jm2.27dlem5 43550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
32		1nn 12214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	jm2.27dlem3 43548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...1)
34	31, 33	sselii 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1...3)
35	34	jm2.27dlem1 43546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑐‘1))
36	35	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
37	36	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
38		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → 𝑏 = (𝑐‘4))
39	8	jm2.27dlem1 43546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑐‘2))
40	35, 39	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
42	38, 41	eqeq12d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
43	37, 42	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
44	13	jm2.27dlem1 43546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑐‘3))
45	44	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
46	45	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
47	35	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑐‘1)↑2))
48	47	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑐‘1)↑2) − 1))
49		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝑐‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑐‘4)↑2))
50	48, 49	oveqan12d 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2)) = ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))
51	46, 50	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))))
52	51	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
53	43, 52	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)))
54	28, 29, 53	sbc2ie 3817	. . . . 5 ⊢ ([(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
55	54	rabbii 3418	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)}
56		4nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
57		rmydioph 43551	. . . . . 6 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
58		simp1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑐‘1))
59	58	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
60		simp3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑐‘4))
61		simp2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑐‘2))
62	58, 61	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
63	60, 62	eqeq12d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
64	59, 63	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
65		df-4 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
66		ssid 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...4) ⊆ (1...4)
67	65, 66	jm2.27dlem5 43550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...3) ⊆ (1...4)
68	3, 67	jm2.27dlem5 43550	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...2) ⊆ (1...4)
69	30, 68	jm2.27dlem5 43550	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) ⊆ (1...4)
70	69, 33	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...4)
71	68, 7	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...4)
72		4nn 12294	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
73	72	jm2.27dlem3 43548	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ (1...4)
74	64, 70, 71, 73	rabren3dioph 43352	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4))
75	56, 57, 74	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4)
76		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...4) ∈ V
77	67, 13	sselii 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...4)
78		mzpproj 43278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
79	76, 77, 78	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
80		2nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
81		mzpexpmpt 43286	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
82	79, 80, 81	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
83		mzpproj 43278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
84	76, 70, 83	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
85		mzpexpmpt 43286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
86	84, 80, 85	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
87		1z 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
88		mzpconstmpt 43281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
89	76, 87, 88	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))
90		mzpsubmpt 43284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
91	86, 89, 90	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
92		mzpproj 43278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
93	76, 73, 92	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
94		mzpexpmpt 43286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
95	93, 80, 94	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
96		mzpmulmpt 43283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
97	91, 95, 96	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
98		mzpsubmpt 43284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
99	82, 97, 98	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
100		eqrabdioph 43318	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4))
101	56, 99, 89, 100	mp3an 1481	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)
102		anrabdioph 43321	. . . . 5 ⊢ (({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4) ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4))
103	75, 101, 102	mp2an 702	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
104	55, 103	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
105	65	rexfrabdioph 43332	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
106	26, 104, 105	mp2an 702	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
107	25, 106	eqeltri 2857	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453  [wsbc 3742   ↦ cmpt 5178   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  1c1 11067   · cmul 11071   − cmin 11407  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ...cfz 13505  ↑cexp 14067  mzPolycmzp 43263  Diophcdioph 43296   X_rm crmx 43437   Y_rm crmy 43438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-dju 9852  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-numer 16760  df-denom 16761  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-mzpcl 43264  df-mzp 43265  df-dioph 43297  df-squarenn 43378  df-pell1qr 43379  df-pell14qr 43380  df-pell1234qr 43381  df-pellfund 43382  df-rmx 43439  df-rmy 43440

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  43559