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Theorem rmxdioph 40128
 Description: X is a Diophantine function. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmxdioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
2 elmapi 8429 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
3 df-3 11707 . . . . . . . . . 10 3 = (2 + 1)
4 ssid 3939 . . . . . . . . . 10 (1...3) ⊆ (1...3)
53, 4jm2.27dlem5 40125 . . . . . . . . 9 (1...2) ⊆ (1...3)
6 2nn 11716 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
76jm2.27dlem3 40123 . . . . . . . . 9 2 ∈ (1...2)
85, 7sselii 3914 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...3)
9 ffvelrn 6836 . . . . . . . 8 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
102, 8, 9sylancl 589 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
12 3nn 11722 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
1312jm2.27dlem3 40123 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
14 ffvelrn 6836 . . . . . . . 8 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
152, 13, 14sylancl 589 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
17 rmxdiophlem 40127 . . . . . 6 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ0 ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
181, 11, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
1918pm5.32da 582 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))))
20 anass 472 . . . . . 6 ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2120rexbii 3211 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
22 r19.42v 3304 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2321, 22bitr2i 279 . . . 4 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1))
2419, 23syl6bb 290 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)))
2524rabbiia 3420 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)}
26 3nn0 11921 . . 3 3 ∈ ℕ0
27 vex 3445 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
2827resex 5870 . . . . . 6 (𝑐 ↾ (1...3)) ∈ V
29 fvex 6668 . . . . . 6 (𝑐‘4) ∈ V
30 df-2 11706 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3130, 5jm2.27dlem5 40125 . . . . . . . . . . . 12 (1...1) ⊆ (1...3)
32 1nn 11654 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
3332jm2.27dlem3 40123 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...1)
3431, 33sselii 3914 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1...3)
3534jm2.27dlem1 40121 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑐‘1))
3635eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
3736adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
38 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → 𝑏 = (𝑐‘4))
398jm2.27dlem1 40121 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑐‘2))
4035, 39oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
4140adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
4238, 41eqeq12d 2814 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
4337, 42anbi12d 633 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
4413jm2.27dlem1 40121 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑐‘3))
4544oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
4645adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑐‘3)↑2))
4735oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑐‘1)↑2))
4847oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑐‘1)↑2) − 1))
49 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑐‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑐‘4)↑2))
5048, 49oveqan12d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2)) = ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))
5146, 50oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))))
5251eqeq1d 2800 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
5343, 52anbi12d 633 . . . . . 6 ((𝑎 = (𝑐 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑐‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)))
5428, 29, 53sbc2ie 3798 . . . . 5 ([(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1))
5554rabbii 3421 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} = {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)}
56 4nn0 11922 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
57 rmydioph 40126 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
58 simp1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑐‘1))
5958eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2)))
60 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑐‘4))
61 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑐‘2))
6258, 61oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))
6360, 62eqeq12d 2814 . . . . . . . 8 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))))
6459, 63anbi12d 633 . . . . . . 7 (((𝑏‘1) = (𝑐‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑐‘2) ∧ (𝑏‘3) = (𝑐‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))))
65 df-4 11708 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
66 ssid 3939 . . . . . . . . . . 11 (1...4) ⊆ (1...4)
6765, 66jm2.27dlem5 40125 . . . . . . . . . 10 (1...3) ⊆ (1...4)
683, 67jm2.27dlem5 40125 . . . . . . . . 9 (1...2) ⊆ (1...4)
6930, 68jm2.27dlem5 40125 . . . . . . . 8 (1...1) ⊆ (1...4)
7069, 33sselii 3914 . . . . . . 7 1 ∈ (1...4)
7168, 7sselii 3914 . . . . . . 7 2 ∈ (1...4)
72 4nn 11726 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7372jm2.27dlem3 40123 . . . . . . 7 4 ∈ (1...4)
7464, 70, 71, 73rabren3dioph 39927 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4))
7556, 57, 74mp2an 691 . . . . 5 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4)
76 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (1...4) ∈ V
7767, 13sselii 3914 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...4)
78 mzpproj 39849 . . . . . . . . 9 (((1...4) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
7976, 77, 78mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
80 2nn0 11920 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
81 mzpexpmpt 39857 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8279, 80, 81mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
83 mzpproj 39849 . . . . . . . . . . 11 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8476, 70, 83mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
85 mzpexpmpt 39857 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8684, 80, 85mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
87 1z 12020 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
88 mzpconstmpt 39852 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
8976, 87, 88mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))
90 mzpsubmpt 39855 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9186, 89, 90mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
92 mzpproj 39849 . . . . . . . . . 10 (((1...4) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...4)) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9376, 73, 92mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
94 mzpexpmpt 39857 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (𝑐‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9593, 80, 94mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))
96 mzpmulmpt 39854 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9791, 95, 96mp2an 691 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
98 mzpsubmpt 39855 . . . . . . 7 (((𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((𝑐‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)))
9982, 97, 98mp2an 691 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4))
100 eqrabdioph 39889 . . . . . 6 ((4 ∈ ℕ0 ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...4)) ∧ (𝑐 ∈ (ℤ ↑m (1...4)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...4))) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4))
10156, 99, 89, 100mp3an 1458 . . . . 5 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)
102 anrabdioph 39892 . . . . 5 (({𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ ((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2)))} ∈ (Dioph‘4) ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4))
10375, 101, 102mp2an 691 . . . 4 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ (((𝑐‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑐‘4) = ((𝑐‘1) Yrm (𝑐‘2))) ∧ (((𝑐‘3)↑2) − ((((𝑐‘1)↑2) − 1) · ((𝑐‘4)↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
10455, 103eqeltri 2886 . . 3 {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)
10565rexfrabdioph 39907 . . 3 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑐 ∈ (ℕ0m (1...4)) ∣ [(𝑐 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑐‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘4)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
10626, 104, 105mp2an 691 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ∧ (((𝑎‘3)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑏↑2))) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
10725, 106eqeltri 2886 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3442  [wsbc 3722   ↦ cmpt 5114   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  1c1 10545   · cmul 10549   − cmin 10877  2c2 11698  3c3 11699  4c4 11700  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  ↑cexp 13445  mzPolycmzp 39834  Diophcdioph 39867   Xrm crmx 40012   Yrm crmy 40013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-shft 14438  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-limsup 14840  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-ef 15433  df-sin 15435  df-cos 15436  df-pi 15438  df-dvds 15620  df-gcd 15854  df-prm 16026  df-numer 16085  df-denom 16086  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-limc 24510  df-dv 24511  df-log 25192  df-mzpcl 39835  df-mzp 39836  df-dioph 39868  df-squarenn 39953  df-pell1qr 39954  df-pell14qr 39955  df-pell1234qr 39956  df-pellfund 39957  df-rmx 40014  df-rmy 40015 This theorem is referenced by:  expdiophlem2  40134
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