Theorem eluzrabdioph 39410

Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eluzrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 39405	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		eluz 12260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
3	2	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
4	3	ralimdv 3180	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
5	4	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
6	1, 5	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
7		rabbi 3385	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
8	6, 7	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
9	8	3adant1 1126	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
10		ovex 7191	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
11		mzpconstmpt 39344	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	10, 11	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13		lerabdioph 39409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
14	12, 13	syl3an2 1160	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2915	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  1c1 10540   ≤ cle 10678  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  mzPolycmzp 39326  Diophcdioph 39359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-mzpcl 39327  df-mzp 39328  df-dioph 39360

This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  39411  rmydioph  39618  expdiophlem2  39626