Theorem eluzrabdioph 43255

Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eluzrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 43250	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		eluz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
3	2	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
4	3	ralimdv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
5	4	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
6	1, 5	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
7		rabbi 3420	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
8	6, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
9	8	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
10		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
11		mzpconstmpt 43189	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	10, 11	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13		lerabdioph 43254	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
14	12, 13	syl3an2 1165	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  1c1 11033   ≤ cle 11174  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455  mzPolycmzp 43171  Diophcdioph 43204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-mzpcl 43172  df-mzp 43173  df-dioph 43205

This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  43256  rmydioph  43463  expdiophlem2  43471