Theorem eluzrabdioph 43593

Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eluzrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 43588	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		eluz 12894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
3	2	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
4	3	ralimdv 3181	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
5	4	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
6	1, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
7		rabbi 3448	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
8	6, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
9	8	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
10		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
11		mzpconstmpt 43531	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	10, 11	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13		lerabdioph 43592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
14	12, 13	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  1c1 11118   ≤ cle 11261  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  mzPolycmzp 43513  Diophcdioph 43546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-mzpcl 43514  df-mzp 43515  df-dioph 43547

This theorem is used by:  elnnrabdioph  43594  rmydioph  43801  expdiophlem2  43809