Theorem eluzrabdioph 42789

Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
eluzrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 42784	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		eluz 12749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
3	2	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
4	3	ralimdv 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴)))
5	4	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
6	1, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴))
7		rabbi 3425	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
8	6, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
9	8	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴})
10		ovex 7382	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
11		mzpconstmpt 42723	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	10, 11	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13		lerabdioph 42788	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
14	12, 13	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑀 ≤ 𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394  Vcvv 3436   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  1c1 11010   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  mzPolycmzp 42705  Diophcdioph 42738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-mzpcl 42706  df-mzp 42707  df-dioph 42739

This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  42790  rmydioph  42997  expdiophlem2  43005