Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzrabdioph 39558
Description: Diophantine set builder for membership in a fixed upper set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eluzrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝑡,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑡)

Proof of Theorem eluzrabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 39553 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2 eluz 12235 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
32ex 416 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴)))
43ralimdv 3166 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴)))
54imp 410 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
61, 5sylan2 595 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴))
7 rabbi 3368 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁))(𝐴 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝐴) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
86, 7sylib 221 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
983adant1 1127 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} = {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴})
10 ovex 7163 . . . 4 (1...𝑁) ∈ V
11 mzpconstmpt 39492 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
1210, 11mpan 689 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13 lerabdioph 39557 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝑀) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
1412, 13syl3an2 1161 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝑀𝐴} ∈ (Dioph‘𝑁))
159, 14eqeltrd 2912 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 ∈ (ℤ𝑀)} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  {crab 3130  Vcvv 3471   class class class wbr 5039  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  m cmap 8381  1c1 10515  cle 10653  0cn0 11875  cz 11959  cuz 12221  ...cfz 12875  mzPolycmzp 39474  Diophcdioph 39507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675  df-mzpcl 39475  df-mzp 39476  df-dioph 39508
This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  39559  rmydioph  39766  expdiophlem2  39774
  Copyright terms: Public domain W3C validator