Theorem hlhilslemOLD 39859

Description: Obsolete version of hlhilslem 39858 as of 6-Nov-2024. Lemma for hlhilsbase 39860. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilslem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilslem.e	⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilslem.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilslem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilslemOLD.f	⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
hlhilslemOLD.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
hlhilslemOLD.2	⊢ 𝑁 < 4
hlhilslemOLD.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
hlhilslemOLD	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilslemOLD.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘𝐸)
2		hlhilslemOLD.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = Slot 𝑁
3		hlhilslemOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxid 16801	. . . 4 ⊢ 𝐹 = Slot (𝐹‘ndx)
5	3	nnrei 11887	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		hlhilslemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 4
7	5, 6	ltneii 10993	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ 4
8	2, 3	ndxarg 16800	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ndx) = 𝑁
9		starvndx 16913	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
10	8, 9	neeq12i 3010	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 4)
11	7, 10	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐹‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
12	4, 11	setsnid 16813	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐸) = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
13	1, 12	eqtri 2767	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩))
14		hlhilslem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		hlhilslem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
16		hlhilslem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		hlhilslem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ((HGMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	hlhilsca 39855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = (Scalar‘𝑈))
21		hlhilslem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
22	20, 21	eqtr4di 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6757	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐸 sSet ⟨(*𝑟‘ndx), ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)⟩)) = (𝐹‘𝑅))
24	13, 23	syl5eq 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252   < clt 10915  ℕcn 11878  4c4 11935   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  *_𝑟cstv 16865  Scalarcsca 16866  HLchlt 37270  LHypclh 37904  EDRingcedring 38673  HGMapchg 39803  HLHilchlh 39852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-fz 13144  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-plusg 16876  df-starv 16878  df-sca 16879  df-vsca 16880  df-ip 16881  df-hlhil 39853

This theorem is referenced by:  hlhilsbaseOLD  39861  hlhilsplusOLD  39863  hlhilsmulOLD  39865