Theorem znbaslemOLD 21533

Description: Obsolete version of znbaslem 21532 as of 3-Nov-2024. Lemma for znbas 21541. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslemOLD.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslemOLD.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
znbaslemOLD.l	⊢ 𝐾 < ;10

Assertion

Ref	Expression
znbaslemOLD	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znbaslemOLD.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		znbaslemOLD.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17199	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12273	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
5		znbaslemOLD.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 < ;10
6	4, 5	ltneii 11377	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 17198	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
8		plendx 17380	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17211	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
12		znval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
13		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
14		znval2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
15		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
16	12, 13, 14, 15	znval2 21531	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
17	16	fveq2d 6905	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
18	11, 17	eqtr4id 2785	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {csn 4633  ⟨cop 4639   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12729   sSet csts 17165  Slot cslot 17183  ndxcnx 17195  lecple 17273   /_s cqus 17520   ~_QG cqg 19116  RSpancrsp 21196  ℤ_ringczring 21436  ℤ/nℤczn 21492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zn 21496

This theorem is referenced by:  znbas2OLD  21535  znaddOLD  21537  znmulOLD  21539