Theorem znbaslemOLD 21311

Description: Obsolete version of znbaslem 21310 as of 3-Nov-2024. Lemma for znbas 21319. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslemOLD.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslemOLD.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
znbaslemOLD.l	⊢ 𝐾 < ;10

Assertion

Ref	Expression
znbaslemOLD	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znbaslemOLD.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		znbaslemOLD.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17135	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 12226	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
5		znbaslemOLD.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 < ;10
6	4, 5	ltneii 11332	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 17134	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
8		plendx 17316	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 3006	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 230	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 17147	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
12		znval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
13		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
14		znval2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
16	12, 13, 14, 15	znval2 21309	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
17	16	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
18	11, 17	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   < clt 11253  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ;cdc 12682   sSet csts 17101  Slot cslot 17119  ndxcnx 17131  lecple 17209   /_s cqus 17456   ~_QG cqg 19039  RSpancrsp 20930  ℤ_ringczring 21218  ℤ/nℤczn 21272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zn 21276

This theorem is referenced by:  znbas2OLD  21313  znaddOLD  21315  znmulOLD  21317