Theorem znbaslemOLD 20630

Description: Obsolete version of znbaslem 20629 as of 3-Nov-2024. Lemma for znbas 20638. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbaslemOLD.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
znbaslemOLD.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
znbaslemOLD.l	⊢ 𝐾 < ;10

Assertion

Ref	Expression
znbaslemOLD	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Proof of Theorem znbaslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znbaslemOLD.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝐾
2		znbaslemOLD.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16801	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	nnrei 11887	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
5		znbaslemOLD.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 < ;10
6	4, 5	ltneii 10993	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≠ ;10
7	1, 2	ndxarg 16800	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝐾
8		plendx 16975	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9	7, 8	neeq12i 3010	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝐾 ≠ ;10)
10	6, 9	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
11	3, 10	setsnid 16813	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
12		znval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
13		znval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
14		znval2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
15		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (le‘𝑌) = (le‘𝑌)
16	12, 13, 14, 15	znval2 20628	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩))
17	16	fveq2d 6757	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑌) = (𝐸‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑌)⟩)))
18	11, 17	eqtr4id 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐸‘𝑈) = (𝐸‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  0cc0 10777  1c1 10778   < clt 10915  ℕcn 11878  ℕ₀cn0 12138  ;cdc 12341   sSet csts 16767  Slot cslot 16785  ndxcnx 16797  lecple 16870   /_s cqus 17108   ~_QG cqg 18641  RSpancrsp 20323  ℤ_ringzring 20557  ℤ/nℤczn 20591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-addf 10856  ax-mulf 10857

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-uz 12487  df-fz 13144  df-struct 16751  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-plusg 16876  df-mulr 16877  df-starv 16878  df-tset 16882  df-ple 16883  df-ds 16885  df-unif 16886  df-0g 17044  df-mgm 18216  df-sgrp 18265  df-mnd 18276  df-grp 18470  df-minusg 18471  df-subg 18642  df-cmn 19278  df-mgp 19611  df-ur 19628  df-ring 19675  df-cring 19676  df-subrg 19912  df-cnfld 20486  df-zring 20558  df-zn 20595

This theorem is referenced by:  znbas2OLD  20632  znaddOLD  20634  znmulOLD  20636